Seja ( an ) uma sequência limitada e
lim n infty bn= uma sequência convergente, com M>0 0 . Mostre que a sequência n converge para 0 . (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante an=arctan (n)1+n tal que para todo .)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se (an) é limitada e (bn) converge para 0, então (an bn) converge para 0; em seguida, calcular o limite da sequência an=arctan(n)1+n usando esse resultado. O conteúdo envolve sequências limitadas, convergência e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Como (an) é limitada, existe M>0 tal que |an|<= M para todo n. Dado varepsilon>0, como limntoinftybn=0, existe N tal que para n>N temos |bn|. Então, para n>N:
|an bn| = |an|cdot|bn| <= M,|bn| < MvarepsilonM = varepsilon
Assim, pelo Teorema do Confronto, limntoinftyan bn = 0.

Passo 3

Para a sequência an = arctan(n)1+n, note que ela é produto de
un = arctan(n) e vn = tfrac1n+1.
Temos un limitada pois 0<=arctan(n) implica |un|<=tfracpi2=M. Além disso, limntoinftyvn=0. Pelo resultado geral, un vnto 0.

Passo 4

Portanto, aplicando o teorema ao caso an=arctan(n)1+n, concluímos que limntoinftyan = 0.

Resposta

0

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