Seja (
) uma sequência limitada e
uma sequência convergente, com
0 . Mostre que a sequência
converge para 0 . (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante
tal que
para todo
.)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é limitada e
converge para 0, então
converge para 0; em seguida, calcular o limite da sequência
usando esse resultado. O conteúdo envolve sequências limitadas, convergência e o Teorema do Confronto.
Passo 2
Como
é limitada, existe
tal que
para todo
. Dado
, como
, existe
tal que para
temos
. Então, para
:
Assim, pelo Teorema do Confronto,
.
Passo 3
Para a sequência
, note que ela é produto de
Temos
limitada pois
implica
. Além disso,
. Pelo resultado geral,
.
Passo 4
Portanto, aplicando o teorema ao caso
, concluímos que
.
Resposta
0