Teste a série quanto a convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
, que é um exercício de séries numéricas, mais especificamente de série geométrica. Vamos usar o critério de convergência para séries geométricas.
Passo 2
Reconhecemos que se trata de uma série geométrica cujo primeiro termo é
e cuja razão comum é
.
Passo 3
O critério de convergência para séries geométricas diz que elas convergem se e somente se
. Para
temos
, logo a série converge. No caso
, todos os termos são zero e a soma é trivialmente convergente.
Passo 4
Para calcular a soma quando
, usamos
. Temos:
Resposta
A série é convergente para todo
. Para
a soma vale
, e para
todos os termos são zero, logo a soma é
.