Teste a série quanto a convergência ou divergência:
sumn=1^infty a^2(11+a^2)^n-1, a in R

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^inftya^2l(tfrac11+a^2r)^n-1, que é um exercício de séries numéricas, mais especificamente de série geométrica. Vamos usar o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Reconhecemos que se trata de uma série geométrica cujo primeiro termo é t1=a^2 e cuja razão comum é r=11+a^2.

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que elas convergem se e somente se |r|<1. Para aneq0 temos |r|=11+a^2<1, logo a série converge. No caso a=0, todos os termos são zero e a soma é trivialmente convergente.

Passo 4

Para calcular a soma quando aneq0, usamos S=t11-r. Temos:
S=a^21-11+a^2=a^2a^21+a^2=1+a^2

Resposta

A série é convergente para todo ainR. Para aneq0 a soma vale 1+a^2, e para a=0 todos os termos são zero, logo a soma é 0.

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