Calcule o comprimento das curvas dadas pelas seguintes funções vetoriais:
Hélice circular: mathbfr(t)=2 cos t i+2 sen t j+6 t k; de (2,0,0) a (2,0,24 pi).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da hélice circular definida por r(t)=2cos t,i+2sin t,j+6t,k entre os pontos (2,0,0) e (2,0,24pi). O conteúdo envolve comprimento de curva no espaço, usando a fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Identificamos os limites de integração em t analisando quando r(t)=(2,0,0) e r(t)=(2,0,24pi). A condição cos t=1 e sin t=0 t=2pi n. Como 6t=24pi, temos t=4pi. Então o parâmetro vai de 0 a 4pi.

Passo 3

Calculamos a derivada r'(t) e o seu módulo. Temos
r'(t)=(-2sin t),i+(2cos t),j+6,k
e
|r'(t)|=raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2+6^2=raiz4(sin^2t+cos^2t)+36=raiz40=2raiz10,
que é constante.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco:
L=integral0^4pi|r'(t)|,dt=integral0^4pi2raiz10,dt=2raiz10l[tr]0^4pi=8piraiz10

Resposta

8piraiz10

Exercícios relacionados