Seja \Sigma um alfabeto finito de não vazio. Descrever o que representam os seguintes itens:
(a) \sigma \in \Sigma : um símbolo do alfabeto
(b) \Sigma \Sigma \Sigma
(c) \Sigma^{*}
(d) w \in \Sigma^{*}
(e) \Sigma^{+}
(f) L \subseteq \Sigma^{*}
(g) 2^{\Sigma^{*}}
(h) L \in 2^{\Sigma}

Passo 1

O enunciado faz parte da teoria de linguagens formais. Temos um alfabeto finito não vazio \Sigma e precisamos dizer o que representam as expressões envolvendo símbolos, cadeias (\emph{strings}), fecho de Kleene, linguagens e o conjunto das linguagens.

Passo 2

Para entender símbolos e cadeias de comprimento fixo:
  • \sigma \in \Sigma significa que \sigma é um único símbolo (ou letra) do alfabeto \Sigma.
  • \Sigma\Sigma\Sigma é o produto (concatenação) de três cópias de \Sigma, ou seja, o conjunto de todas as cadeias de comprimento exatamente 3 formadas por símbolos de \Sigma.

Passo 3

Para falar de fechos:
  • \Sigma^{*} é o fecho de Kleene de \Sigma, isto é, o conjunto de todas as cadeias (incluindo a cadeia vazia) formadas por símbolos de \Sigma.
  • \Sigma^{+} é o fecho positivo de \Sigma, ou seja, o conjunto de todas as cadeias de comprimento pelo menos 1 formadas por símbolos de \Sigma. Em notação, \Sigma^{+} = \Sigma^{*} \setminus \{\varepsilon\}, onde \varepsilon é a cadeia vazia.

Passo 4

Uma variável w \in \Sigma^{*} indica que w é uma cadeia (string) qualquer sobre o alfabeto \Sigma; pode ser a cadeia vazia ou qualquer sequência finita de símbolos de \Sigma.

Passo 5

A expressão L \subseteq \Sigma^{*} diz que L é um subconjunto de \Sigma^{*}. Dizemos que L é uma linguagem formal sobre o alfabeto \Sigma, pois seleciona um conjunto de cadeias desse alfabeto.

Passo 6

Falando de conjuntos de linguagens:
  • 2^{\Sigma^{*}} é o conjunto de todas as partes (power set) de \Sigma^{*}. Logo, cada elemento de 2^{\Sigma^{*}} é uma linguagem sobre \Sigma.
  • Se tivéssemos L \in 2^{\Sigma}, então L seria um subconjunto de \Sigma, ou seja, um conjunto de símbolos do alfabeto (não uma linguagem de cadeias, mas apenas um \emph{sub-alfabeto}).

Resposta

(a) \sigma \in \Sigma é um símbolo (letra) do alfabeto.
(b) \Sigma\Sigma\Sigma é o conjunto de todas as cadeias de comprimento exatamente 3 sobre \Sigma.
(c) \Sigma^{*} é o fecho de Kleene de \Sigma: todas as cadeias finitas (incluindo a vazia) sobre \Sigma.
(d) w \in \Sigma^{*} significa que w é uma cadeia (string) qualquer sobre \Sigma.
(e) \Sigma^{+} é o fecho positivo de \Sigma: todas as cadeias não vazias sobre \Sigma.
(f) L \subseteq \Sigma^{*} indica que L é uma linguagem formal, isto é, um conjunto de cadeias sobre \Sigma.
(g) 2^{\Sigma^{*}} é o conjunto de todas as linguagens possíveis sobre \Sigma (todas as partes de \Sigma^{*}).
(h) L \in 2^{\Sigma} significa que L é um subconjunto de \Sigma, ou seja, um conjunto de símbolos do alfabeto.

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