Seja uma curva simples e fechada parametrizada no sentido anti-horário e seja a região simples (simplesmente conexa) do plano delimitada por .
Mostre que uma das formas de calcular a área da região é dada por .
Passo 1
A questão pede para mostrar que a área da região R delimitada pela curva σ (orientada anti-horário) pode ser obtida por uma integral de linha, ou seja, que
Para resolver isso vamos usar o Teorema de Green em planos simplesmente conexos.
Passo 2
O Teorema de Green afirma que, para uma curva simples fechada σ orientada positivamente e P(x,y), Q(x,y) funções com derivadas parciais contínuas na região interna a σ, vale