Seja sigma uma curva simples e fechada parametrizada no sentido anti-horário e seja R a região simples (simplesmente conexa) do plano delimitada por sigma.
Mostre que uma das formas de calcular a área da região R é dada por A=|ointsigma-y d x|=|ointsigma y d x|.

Passo 1

A questão pede para mostrar que a área da região R delimitada pela curva σ (orientada anti-horário) pode ser obtida por uma integral de linha, ou seja, que
A=integral duplaR dA=l|ointsigma(-y,dx)r|=l|ointsigmay,dxr|
Para resolver isso vamos usar o Teorema de Green em planos simplesmente conexos.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que, para uma curva simples fechada σ orientada positivamente e P(x,y), Q(x,y) funções com derivadas parciais contínuas na região interna a σ, vale
ointsigmaP,dx+Q,dy=integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA
Aqui queremos uma integral que nos dê exatamente integral duplaR 1,dA, pois essa expressão é a área de R.

Passo 3

Para isso escolhemos
P(x,y)=-y, Q(x,y)=0
Então
partial Qpartial x-partial Ppartial y=0-(-1)=1
Aplicando Green,
ointsigma(-y),dx+0,dy=integral duplaR1,dA=A
Logo
ointsigma(-y,dx)=A

Passo 4

Repare que
ointsigmay,dx=-ointsigma(-y,dx)
porque trocar o sinal em P inverte o sinal da integral de linha. Assim, ao tomar valor absoluto, temos
l|ointsigmay,dxr|=l|ointsigma(-y,dx)r|=A

Passo 5

Concluímos então que uma forma de calcular a área de R é
A=l|ointsigma(-y,dx)r|=l|ointsigmay,dxr|

Resposta

A=|\oint_{\sigma}(-y,dx)|=|\oint_{\sigma}y,dx|

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