1. Seja \sigma a superfície \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}-(z-1)^{2}=0, \quad 0 \leq z \leq 1\right\}, seja \vec{n} o campo vetorial normal a \sigma e unitário, cuja coordenada z é sempre positiva. Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=x^{2} y \vec{i}+x y^{2} \vec{j}+(5-4 x y z) \vec{k} através de \sigma na direção de \vec{n}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \displaystyle F(x,y,z)=x^{2}y\,\vec i + xy^{2}\,\vec j + (5-4xyz)\,\vec k
através da superfície \sigma:\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2-(z-1)^2=0,\;0\le z\le1\},
com a normal unitária \vec n de componente z positiva.
O conteúdo envolve parametrização de superfícies, cálculo do vetor área orientado \vec n\,dS e integração dupla.

Passo 2

Parametrizamos \sigma por
r(z,\theta)=\bigl((1-z)\cos\theta,\,(1-z)\sin\theta,\,z\bigr), \quad z\in[0,1],\;\theta\in[0,2\pi].
Então
r_z=(-\cos\theta,\,-\sin\theta,\,1), \quad r_\theta=(-(1-z)\sin\theta,\,(1-z)\cos\theta,\,0)
e
r_z\times r_\theta = -(1-z)\bigl(\cos\theta,\sin\theta,1\bigr).
Para que a componente k fique positiva, tomamos
\vec n\,dS = -(r_z\times r_\theta)\,d\theta\,dz =(1-z)\bigl(\cos\theta,\sin\theta,1\bigr)\,d\theta\,dz.

Passo 3

Em coordenadas paramétricas x=(1-z)\cos\theta, y=(1-z)\sin\theta, temos
F_1=x^2y=(1-z)^3\cos^2\theta\sin\theta, \quad F_2=xy^2=(1-z)^3\cos\theta\sin^2\theta,
F_3=5-4xyz=5-4z(1-z)^2\cos\theta\sin\theta.
O produto interno F\cdot(\vec n\,dS) é
(1-z)\bigl[F_1\cos\theta + F_2\sin\theta + F_3\cdot1\bigr] =5(1-z)+(1-z)^3(1-5z)\cos\theta\sin\theta.

Passo 4

O fluxo fica
\iint_\sigma F\cdot\vec n\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\Bigl[5(1-z)+(1-z)^3(1-5z)\cos\theta\sin\theta\Bigr]dz\,d\theta.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0, sobra
5\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}(1-z)\,dz =5\cdot2\pi\cdot\tfrac12 =5\pi.

Resposta

O fluxo de F através de \sigma é 5\pi.

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