1. Seja f: K \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x, y)=x^{2}-y^{2}, sendo K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. Dê uma parametrização para a superfície cuja imagem coincide com o gráfico de f e determine a área deste gráfico.

Passo 1

O gráfico de f\colon K\to\mathbb{R}, com f(x,y)=x^2-y^2 e K=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le4\}, é a superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=f(x,y)\}\,.
Para calcular a área de S usaremos a fórmula de área de gráfico de função de duas variáveis:
A(S)=\iint_{K}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;x^2-y^2\bigr),\quad (x,y)\in K.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_x=(1,\,0,\,2x), \qquad \mathbf{r}_y=(0,\,1,\,-2y).
O módulo do produto vetorial é
\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\| =\sqrt{1+4x^2+4y^2} =\sqrt{1+4\,(x^2+y^2)}.
Logo a área é
A(S)=\iint_{K}\sqrt{1+4(x^2+y^2)}\,dA.

Passo 4

Em coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), com r\in[0,2] e \theta\in[0,2\pi], temos dA=r\,dr\,d\theta e x^2+y^2=r^2. Então
A(S) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} \sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}r\sqrt{1+4r^2}\,dr.

Passo 5

Fazemos a substituição u=1+4r^2, du=8r\,dr, limites r=0\to u=1, r=2\to u=17. Assim,
\int_{0}^{2}r\sqrt{1+4r^2}\,dr =\frac{1}{8}\int_{1}^{17}\!\sqrt{u}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{17} =\frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

Passo 6

Substituindo de volta:
A(S)=2\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr) =\frac{\pi}{6}\,\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

Resposta

A(S)=\frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

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