Seja f: K \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x, y)=x^{2}-y^{2}, sendo K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}. Dê uma parametrização para a superfície cuja imagem coincide com o gráfico de f e determine a área deste gráfico.
Passo 1
O gráfico de f\colon K\to\mathbb{R}, com f(x,y)=x^2-y^2 e K=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le4\}, é a superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=f(x,y)\}\,.
Para calcular a área de S usaremos a fórmula de área de gráfico de função de duas variáveis:
A(S)=\iint_{K}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.
Passo 2
Parametrizamos S por
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;x^2-y^2\bigr),\quad (x,y)\in K.