1. Considere a superfície \sigma(u, v)=(R \cos u, R \operatorname{sen} u, v), \operatorname{com} 0 \leq u \leq 2 \pi e 0 \leq v \leq h, onde R e h são constantes positivas.
    (a) Escreva a função r(\sigma(u, v)) que dá, para cada ponto da superfície, a distância em relação ao eixo O z.
    (b) Calcule a integral \iint_{\sigma} r^{2} \mathrm{~d} S, onde r é a função encontrada no item anterior.

Passo 1

O enunciado define a superfície parametrizada por
\sigma(u,v) = \bigl(R\cos u,\;R\operatorname{sen} u,\;v\bigr),
com 0\le u\le2\pi e 0\le v\le h, que é um cilindro de raio R e altura h. Pede-se
(a) a função r que dá a distância de cada ponto de \sigma ao eixo Oz,
(b) a integral de superfície
\iint_{\sigma}r^{2}\,dS.
Para resolver vamos usar a fórmula da distância ao eixo e o cálculo de área de superfícies paramétricas.

Passo 2

Cada ponto de \sigma tem coordenadas
x = R\cos u,\quad y = R\operatorname{sen} u,\quad z = v.
A distância ao eixo Oz é dada por
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Logo, em \sigma(u,v)
r\bigl(\sigma(u,v)\bigr) = \sqrt{(R\cos u)^{2} + (R\operatorname{sen} u)^{2}} = \sqrt{R^{2}(\cos^{2}u+\operatorname{sen}^{2}u)} = R.

Passo 3

Para a integral de superfície usamos
dS = \bigl\|\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\|\,du\,dv.
Calculamos as derivadas parciais:
\sigma_{u} = (-R\operatorname{sen} u,\;R\cos u,\;0), \quad \sigma_{v} = (0,0,1).
O produto vetorial vale
\sigma_{u}\times\sigma_{v} = (R\cos u,\;R\operatorname{sen} u,\;0)
e seu módulo é
\bigl\|\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\| = \sqrt{(R\cos u)^{2}+(R\operatorname{sen} u)^{2}} = R.

Passo 4

Como r(\sigma(u,v))=R é constante, o integrando r^{2} vale R^{2}. Assim
\iint_{\sigma}r^{2}\,dS = \int_{u=0}^{2\pi}\!\!\int_{v=0}^{h}R^{2}\,\bigl\|\sigma_{u}\times\sigma_{v}\bigr\|\,dv\,du = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{h}R^{2}\cdot R\,dv\,du = R^{3}\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{h}dv\,du.

Passo 5

Executando a integração
\int_{0}^{h}dv = h, \quad \int_{0}^{2\pi}du = 2\pi,
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\iint_{\sigma}r^{2}\,dS = R^{3}\cdot h\cdot 2\pi = 2\pi\,R^{3}h.

Resposta

(a) \;r\bigl(\sigma(u,v)\bigr) = R.
(b) \;\displaystyle \iint_{\sigma}r^{2}\,dS = 2\pi\,R^{3}h.

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