Considere a superfície \sigma(u, v)=(R \cos u, R \operatorname{sen} u, v), \operatorname{com} 0 \leq u \leq 2 \pi e 0 \leq v \leq h, onde R e h são constantes positivas.
(a) Escreva a função r(\sigma(u, v)) que dá, para cada ponto da superfície, a distância em relação ao eixo O z.
(b) Calcule a integral \iint_{\sigma} r^{2} \mathrm{~d} S, onde r é a função encontrada no item anterior.
com 0\le u\le2\pi e 0\le v\le h, que é um cilindro de raio R e altura h. Pede-se
(a) a função r que dá a distância de cada ponto de \sigma ao eixo Oz,
(b) a integral de superfície
\iint_{\sigma}r^{2}\,dS.
Para resolver vamos usar a fórmula da distância ao eixo e o cálculo de área de superfícies paramétricas.
Passo 2
Cada ponto de \sigma tem coordenadas
x = R\cos u,\quad y = R\operatorname{sen} u,\quad z = v.