Calcule \iint_{\sigma}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n} \mathrm{~d} S, onde \vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k} e \sigma é a parte da casca cilíndrica x^{2}+y^{2}=4 compreendida entre os planos z=0 e z=3, sendo \vec{n} o campo de vetores unitário e normal a \sigma que aponta para fora do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de \operatorname{rot}\vec F pela casca cilíndrica \sigma\colon x^2+y^2=4, 0\le z\le3, com normal unitário apontando para fora. O assunto é cálculo vetorial, mais precisamente o cálculo de fluxo de um rotacional por uma superfície (poderíamos usar diretamente Stokes, mas aqui é mais rápido computar o fluxo diretamente, pois \operatorname{rot}\vec F é constante).
Passo 2
Calculemos primeiro o rotacional de \vec F(x,y,z)=(y,z,x). Usando
\operatorname{rot}\vec F =(0-1,\;0-1,\;0-1)=(-1,-1,-1).
Passo 3
Parametrizamos a casca cilíndrica por (\theta,z)\mapsto(x,y,z)=(2\cos\theta,2\sin\theta,z), com \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,3]. A normal unitária para fora é