1. Calcule \iint_{\sigma}(\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n} \mathrm{~d} S, onde \vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k} e \sigma é a parte da casca cilíndrica x^{2}+y^{2}=4 compreendida entre os planos z=0 e z=3, sendo \vec{n} o campo de vetores unitário e normal a \sigma que aponta para fora do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \operatorname{rot}\vec F pela casca cilíndrica \sigma\colon x^2+y^2=4, 0\le z\le3, com normal unitário apontando para fora. O assunto é cálculo vetorial, mais precisamente o cálculo de fluxo de um rotacional por uma superfície (poderíamos usar diretamente Stokes, mas aqui é mais rápido computar o fluxo diretamente, pois \operatorname{rot}\vec F é constante).

Passo 2

Calculemos primeiro o rotacional de \vec F(x,y,z)=(y,z,x). Usando
\operatorname{rot}\vec F =\bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z},\; \tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x},\; \tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)
com P=y, Q=z, R=x, obtemos
\operatorname{rot}\vec F =(0-1,\;0-1,\;0-1)=(-1,-1,-1).

Passo 3

Parametrizamos a casca cilíndrica por (\theta,z)\mapsto(x,y,z)=(2\cos\theta,2\sin\theta,z), com \theta\in[0,2\pi] e z\in[0,3]. A normal unitária para fora é
\vec n(\theta,z) =\bigl(\tfrac{x}{2},\tfrac{y}{2},0\bigr) =(\cos\theta,\sin\theta,0),
e o elemento de área é
\mathrm dS =\bigl|\partial_\theta\mathbf r\times\partial_z\mathbf r\bigr|\mathrm d\theta\,\mathrm dz =2\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.

Passo 4

O integrando fica
(\operatorname{rot}\vec F)\cdot\vec n =(-1,-1,-1)\cdot(\cos\theta,\sin\theta,0) =-\cos\theta-\sin\theta.
Logo
\iint_{\sigma}(\operatorname{rot}\vec F)\cdot\vec n\,\mathrm dS =\int_{z=0}^{3}\int_{\theta=0}^{2\pi}\bigl(-\cos\theta-\sin\theta\bigr)\;2\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz.
Como \displaystyle\int_0^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm d\theta=0 e \displaystyle\int_0^{2\pi}\sin\theta\,\mathrm d\theta=0,
todo o integral anula.

Resposta

0.

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