Seja X sim U1,20, isto é, tal que
P(X=k)=120, k=1,2, ldots, 20
a. Calcule FX(x):=P(X <= x) para todo x in R.
b. Calcule E(X).
c. Calcule var(X).
d. Calcule P(X >= 6 mid X=10).
e. Calcule P(X >= 6 mid X <= 10).

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta X que é uniformemente distribuída em 1,2,dots,20.
Conteúdos necessários: função de distribuição acumulada (CDF) de variável discreta, fórmulas de expectativa e variância para distribuição uniforme discreta, e cálculo de probabilidades condicionais.

Passo 2

Para obter a CDF FX(x)=P(X<= x) em todo xinR, consideramos três casos:
FX(x)= 0, & se x<1,[6pt] dfraclfloor xrfloor20, & se 1<= x<20,[6pt] 1, & se x>=20 ]

Passo 3

Para a expectativa usamos
E(X) =sumk=1^20kcdot120 =120cdot20cdot212 =10,5

Passo 4

Para a variância calculamos primeiro
E(X^2) =sumk=1^20k^2cdot120 =120cdot20cdot21cdot416 =287020=143,5,
depois
Var(X) =E(X^2)-l(E(X)r)^2 =143,5 - (10,5)^2 =143,5 - 110,25 =33,25

Passo 5

Para P(X>=6mid X=10) note que, dada a informação X=10, o evento X>=6 ocorre com certeza, logo
P(X>=6mid X=10)=1

Passo 6

Para P(X>=6mid X<=10) usamos definição de probabilidade condicional:
P(X>=6mid X<=10) =P(6<= X<=10)P(X<=10) =5/2010/20 =510 =tfrac12

Resposta

a.
FX(x)= 0, & x<1, dfraclfloor xrfloor20, & 1<= x<20, 1, & x>=20
b. E(X)=10,5.
c. Var(X)=33,25.
d. P(X>=6mid X=10)=1.
e. P(X>=6mid X<=10)=tfrac12.

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