Seja X sim N(mu, 36)
Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18. Construa intervalos de confiança de: i. 80 % ii. 95 % iii. 99 %

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma variável aleatória
Xsim N(mu,36)
ou seja, distribuição normal com média mu e variância 36 (desvio-padrão sigma=6). A gente coletou uma amostra de tamanho n=50 e encontrou média amostral bar x=18.
O que vamos fazer: construir intervalos de confiança (IC) para mu em três níveis (80%, 95% e 99%).
Conteúdo usado: intervalo de confiança para média de população normal com variância conhecida.

Passo 2

Teoria básica: quando a variância sigma^2 é conhecida, a média amostral
bar X
tem distribuição
bar Xsim Nl(mu,;sigma^2nr)
Então um IC para mu de nível (1-alpha)times100% é dado por
bar x pm zalpha/2,sigmaraizn
onde zalpha/2 é o quantil da normal padrão tal que
Pl(Z>zalpha/2r)=alpha2,

Passo 3

Precisamos achar os valores críticos zalpha/2 para cada nível:
  • 80%: alpha=0,20impliesalpha/2=0,10implies z0,10approx 1,2816
  • 95%: alpha=0,05impliesalpha/2=0,025implies z0,025approx 1,96
  • 99%: alpha=0,01impliesalpha/2=0,005implies z0,005approx 2,5758

Passo 4

Calcular o erro padrão da média:
sigmaraizn=6raiz50approx0,8485,
Agora cada margem de erro fica:
- 80%: 1,2816times0,8485approx1,087
- 95%: 1,96times0,8485approx1,663
- 99%: 2,5758times0,8485approx2,185
Daí os intervalos são:
  • 80%: 18pm1,087
  • 95%: 18pm1,663
  • 99%: 18pm2,185

Resposta

80%: l[18-1,087,;18+1,087r]approx[16,913,;19,087]
95%: l[18-1,663,;18+1,663r]approx[16,337,;19,663]
99%: l[18-2,185,;18+2,185r]approx[15,815,;20,185]

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