Será coletada uma amostra de uma população com distribuição Normal e variância igual a 80. Para uma confiança de 99,8 %, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 e 100. Interprete as diferenças.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma população normal com variância conhecida igual a 80 (logo o desvio-padrão é ). Queremos construir o intervalo de confiança de 99,8 % para a média populacional em três tamanhos de amostra: , e . Precisamos lembrar da fórmula do intervalo de confiança para média quando a variância é conhecida, usar a tabela normal (o tal do ) e calcular a “amplitude” (largura) desse intervalo em cada caso.

Passo 2

Teoria que usamos: se a variância é conhecida, o intervalo de confiança para a média barX pm zalpha/2,sigmaraizn, com nível de confiança é
em que
  • é a média amostral (não precisamos do valor numérico aqui, só a largura),
  • é o desvio-padrão da população,
  • é o tamanho da amostra,
  • é o valor crítico da Normal padrão tal que a área acima dele é .

Passo 3

Como queremos 99,8 % de confiança, z0.001 approx 3,0902 , logo . O valor crítico da normal padrão para é aproximadamente

Passo 4

A amplitude (largura total) do intervalo é
Amplitude = 2 ; zalpha/2,sigmaraizn = 2 times 3,0902 times raiz80raizn
Vamos calcular .

Passo 5

Caso Amplitude30 = 2 times 3,0902 times 8,9443raiz30 = 2 times 3,0902 times 8,94435,4772 approx 10,09 :

Passo 6

Caso Amplitude50 = 2 times 3,0902 times 8,9443raiz50 = 2 times 3,0902 times 8,94437,0711 approx 7,82 :

Passo 7

Caso Amplitude100 = 2 times 3,0902 times 8,944310 approx 5,53 :

Passo 8

Interpretação das diferenças:
  • Quanto maior o , mais estreito fica o intervalo de confiança.
  • Isso faz sentido porque, com mais dados, a estimativa da média fica mais precisa, ou seja, temos menos “insegurança” em torno da média estimada.

Resposta

Amplitude do intervalo de confiança de 99,8 % para a média:
  • : aproximadamente 10,09
  • : aproximadamente 7,82
  • : aproximadamente 5,53

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