Será coletada uma amostra de uma população com distribuição Normal e variância igual a 80. Para uma confiança de
, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 e 100. Interprete as diferenças.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma população normal com variância conhecida igual a 80 (logo o desvio-padrão é
). Queremos construir o intervalo de confiança de 99,8 % para a média populacional em três tamanhos de amostra:
,
e
. Precisamos lembrar da fórmula do intervalo de confiança para média quando a variância é conhecida, usar a tabela normal (o tal do
) e calcular a “amplitude” (largura) desse intervalo em cada caso.
Passo 2
Teoria que usamos: se a variância é conhecida, o intervalo de confiança para a média
com nível de confiança
é
em que
-
é a média amostral (não precisamos do valor numérico aqui, só a largura), -
é o desvio-padrão da população, -
é o tamanho da amostra, -
é o valor crítico da Normal padrão tal que a área acima dele é .
Passo 3
Como queremos 99,8 % de confiança,
, logo
. O valor crítico da normal padrão para
é aproximadamente
Passo 4
A amplitude (largura total) do intervalo é
Vamos calcular
.
Passo 5
Caso
:
Passo 6
Caso
:
Passo 7
Caso
:
Passo 8
Interpretação das diferenças:
- Quanto maior o
, mais estreito fica o intervalo de confiança. - Isso faz sentido porque, com mais dados, a estimativa da média fica mais precisa, ou seja, temos menos “insegurança” em torno da média estimada.
Resposta
Amplitude do intervalo de confiança de 99,8 % para a média:
-
: aproximadamente 10,09 -
: aproximadamente 7,82 -
: aproximadamente 5,53