Seja
Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18. Calcule as amplitudes dos intervalos acima e explique o comportamento dos intervalos ao mudar o nível de confiança.
Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18. Calcule as amplitudes dos intervalos acima e explique o comportamento dos intervalos ao mudar o nível de confiança.
Passo 1
O que o enunciado diz? A variável
é normal com média
e variância
(logo desvio-padrão
). Tiramos uma amostra de tamanho
e encontramos a média amostral
. Precisamos calcular as amplitudes (larguras) dos intervalos de confiança para
em diferentes níveis de confiança e ver como a largura muda quando o nível de confiança aumenta ou diminui.
Conteúdo envolvido: intervalo de confiança para a média de uma normal com variância conhecida. Para resolver, vamos usar a distribuição da média amostral e a tabela da normal padrão (valores críticos ).
Conteúdo envolvido: intervalo de confiança para a média de uma normal com variância conhecida. Para resolver, vamos usar a distribuição da média amostral e a tabela da normal padrão (valores críticos
Passo 2
Teoria e fórmula do intervalo de confiança:
- Se
e a amostra tem tamanho , então a média amostral segue
2) Um intervalo de confiança de nível
onde
é o quantil da normal padrão (por exemplo,
,
,
).
3) A amplitude (largura total) desse intervalo é
3) A amplitude (largura total) desse intervalo é
Passo 3
Vamos calcular para 90% de confiança (
,
):
- Desvio-padrão da média amostral:
2) Margem de erro (uma “metade” da amplitude):
- Amplitude total:
Passo 4
Para 95% de confiança (
,
):
- Mesma
. - Margem de erro:
3) Amplitude total:
Passo 5
Para 99% de confiança (
,
):
- Ainda
. - Margem de erro:
3) Amplitude total:
Comportamento ao mudar o nível de confiança: quanto maior o nível (passar de 90% para 95% para 99%), maior é o
e, portanto, maior a margem de erro e a amplitude do intervalo. Se a gente quiser mais certeza de que o intervalo contém
, ele fica mais “espichado” (mais largo).
Resposta
Amplitude para 90%: 2{.}792
Amplitude para 95%: 3{.}326
Amplitude para 99%: 4{.}368
Amplitude para 95%: 3{.}326
Amplitude para 99%: 4{.}368