Seja X sim N(mu, 36)
Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18. Calcule as amplitudes dos intervalos acima e explique o comportamento dos intervalos ao mudar o nível de confiança.

Passo 1

O que o enunciado diz? A variável X é normal com média mu e variância 36 (logo desvio-padrão sigma=6). Tiramos uma amostra de tamanho n=50 e encontramos a média amostral bar X=18. Precisamos calcular as amplitudes (larguras) dos intervalos de confiança para mu em diferentes níveis de confiança e ver como a largura muda quando o nível de confiança aumenta ou diminui.
Conteúdo envolvido: intervalo de confiança para a média de uma normal com variância conhecida. Para resolver, vamos usar a distribuição da média amostral e a tabela da normal padrão (valores críticos zalpha/2).

Passo 2

Teoria e fórmula do intervalo de confiança:
  1. Se Xsim N(mu,sigma^2) e a amostra tem tamanho n, então a média amostral bar X segue
bar Xsim Nl(mu,sigma/raiz nr),
2) Um intervalo de confiança de nível 100(1-alpha)% para mu é
bar X pm zalpha/2,sigmaraiz n,
onde zalpha/2 é o quantil da normal padrão (por exemplo, z005=1645, z0025=196, z0005=2575).
3) A amplitude (largura total) desse intervalo é
Amplitude = 2,zalpha/2,sigmaraiz n

Passo 3

Vamos calcular para 90% de confiança ( alpha=010, z005=1645):
  1. Desvio-padrão da média amostral:
sigmaraiz n = 6raiz50approx 08485
2) Margem de erro (uma “metade” da amplitude):
E90%=1645;times08485approx1396
  1. Amplitude total:
Amp90%=2,E90%approx2times1396=2792

Passo 4

Para 95% de confiança ( alpha=005, z0025=196):
  1. Mesma sigma/raiz napprox08485.
  2. Margem de erro:
E95%=196times08485approx1663
3) Amplitude total:
Amp95%=2times1663approx3326

Passo 5

Para 99% de confiança ( alpha=001, z0005=2575):
  1. Ainda sigma/raiz napprox08485.
  2. Margem de erro:
E99%=2575times08485approx2184
3) Amplitude total:
Amp99%=2times2184approx4368
Comportamento ao mudar o nível de confiança: quanto maior o nível (passar de 90% para 95% para 99%), maior é o zalpha/2 e, portanto, maior a margem de erro e a amplitude do intervalo. Se a gente quiser mais certeza de que o intervalo contém mu, ele fica mais “espichado” (mais largo).

Resposta

Amplitude para 90%: 2{.}792
Amplitude para 95%: 3{.}326
Amplitude para 99%: 4{.}368

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