Seja X \sim N\left(\mu ; \sigma^{2}\right);
Calcule o valor de k tal que P(|X-\mu|<k \sigma)=0.95.

Passo 1

O enunciado diz que X\sim N(\mu,\sigma^{2}) e pede k tal que
P\bigl(|X-\mu|<k\,\sigma\bigr)=0,95.
Para resolver, vamos padronizar X e usar as propriedades da normal padrão.

Passo 2

Definindo Z=\frac{X-\mu}{\sigma}, temos Z\sim N(0,1) e
P\bigl(|X-\mu|<k\,\sigma\bigr) = P\bigl(-k<Z<k\bigr).

Passo 3

Pela simetria da normal padrão,
P(-k<Z<k) = \Phi(k)-\Phi(-k) = \Phi(k)-\bigl(1-\Phi(k)\bigr) =2\,\Phi(k)-1.
Queremos 2\,\Phi(k)-1=0,95, logo
\Phi(k)=\frac{0,95+1}{2}=0,975.

Passo 4

O valor de k é o quantil de ordem 0,975 da normal padrão, ou seja
k=\Phi^{-1}(0,975)\approx1,96.

Resposta

k\approx1,96.

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