Seja X \sim N\left(\mu ; \sigma^{2}\right);
Calcule o valor de k tal que P(X>\mu+k \sigma)=0.1.

Passo 1

O enunciado diz que X é normal com média \mu e variância \sigma^{2}, ou seja,
X \sim N\bigl(\mu,\sigma^{2}\bigr),
e pede encontrar k tal que
P\bigl(X>\mu + k\,\sigma\bigr) = 0{,}1.
Para resolver, vamos usar a padronização e a tabela (ou função inversa) da normal padrão.

Passo 2

Definimos a variável padronizada
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
que satisfaz Z\sim N(0,1). Logo,
P\bigl(X>\mu + k\,\sigma\bigr) = P\Bigl(\frac{X-\mu}{\sigma}>k\Bigr) = P(Z>k).

Passo 3

Queremos
P(Z>k)=0{,}1,
o que equivale a
P(Z\le k)=0{,}9.
Portanto
k = \Phi^{-1}(0{,}9),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

Consultando a tabela ou usando software, obtemos
\Phi^{-1}(0{,}9)\approx 1{,}2816.

Resposta

k = \Phi^{-1}(0{,}9)\approx 1{,}2816

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