Seja X sim Normal(mu=7, sigma^2=9). Calcule as probabilidades a seguir.
P(5.13

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância . Nosso objetivo é calcular a probabilidade de estar entre 5.13 e 7.04, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar a tabela da distribuição normal padrão e entender como padronizar a variável .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para trabalhar com a distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1, precisamos transformar a nossa variável Z = X - musigma nessa forma. Essa transformação se chama padronização e é feita pela fórmula:
Aqui, é a média e é o desvio padrão da distribuição original.

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão sigma = raiz9 = 3 . Sabemos que a variância , então:

Passo 4

Agora, vamos padronizar os limites da nossa probabilidade. Primeiro, para Z1 = 5.13 - 73 = -1.873 approx -0.6233 :
Z2 = 7.04 - 73 = 0.043 approx 0.0133
E para :

Passo 5

Com os valores de e , queremos encontrar . Para isso, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão, que nos dá a probabilidade acumulada até um certo valor de .

Passo 6

Consultando a tabela, temos:
P(Z < 0.0133) approx 0.5053
P(Z < -0.6233) approx 0.2660

Passo 7

A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(-0.6233 < Z < 0.0133) = P(Z < 0.0133) - P(Z < -0.6233) approx 0.5053 - 0.2660 = 0.2393

Resposta

Portanto, a probabilidade é aproximadamente ou 23,93%.

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