Numa pesquisa feita com 1000 familias para verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C. Sabe-se ainda que 180 familias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 familias assistem aos três programas.
Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão nos diz. Temos 1000 famílias e queremos descobrir quantas delas não assistem a nenhum dos programas de televisão A, B ou C. Para resolver isso, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão, que nos ajuda a calcular o total de elementos em uniões de conjuntos, considerando as sobreposições entre eles.

Passo 2

Vamos definir:
  • como o conjunto de famílias que assistem ao programa A:
  • como o conjunto de famílias que assistem ao programa B:
  • como o conjunto de famílias que assistem ao programa C:
Também sabemos:
  • (famílias que assistem aos programas A e B)
  • (famílias que assistem aos programas B e C)
  • (famílias que assistem aos programas A e C)
  • (famílias que assistem aos três programas)

Passo 3

Aplicando o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos, a quantidade de famílias que assistem a pelo menos um dos programas é:
|A cup B cup C| = |A| + |B| + |C| - |A cap B| - |A cap C| - |B cap C| + |A cap B cap C|

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
|A cup B cup C| = 510 + 305 + 386 - 180 - 25 - 60 + 10

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
510 + 305 = 815
815 + 386 = 1201
1201 - 180 = 1021
1021 - 25 = 996
996 - 60 = 936
936 + 10 = 946
Portanto, famílias assistem a pelo menos um dos programas.

Passo 6

Agora, para encontrar o número de famílias que não assistem a nenhum dos programas, subtraímos esse total do número total de famílias:
Famílias que não assistem a nenhum programa = 1000 - 946 = 54 íã

Resposta

54 famílias não assistem a nenhum desses programas.

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