Sabendo que um computador foi usado para gerar cinco números aleatórios independentes uniformemente distribuídos no intervalo (0,2), determine verdadeiro (V) ou falso (F) :
( ) A probabilidade de nenhum deles estar em (12, 1) é maior que 0.1 .
( ) A probabilidade de um número estar em (12, 1) é a mesma dele estar em (14, 2120).
( ) A probabilidade de exatamente 3 números estar em (12, 1) é menor que 0.1
( ) A probabilidade de exatamente 2 números estar em (1, 54) é a mesma deles estar em (14, 12).
( ) A probabilidade de menos do que 4 sejam maiores que 54 é menor que 0.5 .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos um computador que gera cinco números aleatórios independentes, distribuídos uniformemente no intervalo (0,2). Precisamos verificar a veracidade de cinco afirmações relacionadas às probabilidades desses números caírem em certos intervalos.
Para resolver, vamos utilizar conceitos de probabilidade de variáveis contínuas uniformemente distribuídas e distribuição binomial para eventos independentes.

Passo 2

Primeira afirmação: A probabilidade de nenhum dos cinco números estar em (12, 1) é maior que 0.1.
Primeiro, determinamos a probabilidade de um único número não estar em (12, 1). O intervalo total é (0,2), com comprimento 2. O intervalo (12, 1) tem comprimento 1 - 12 = 12.
Portanto, a probabilidade de um número não estar em (12, 1) é:
P = 1 - 122 = 1 - 14 = 34
Como os números são independentes, a probabilidade de nenhum dos cinco estar em (12, 1) é:
Pnenhum = (34)^5 approx 0,2373
Comparando com 0.1, temos 0,2373 > 0,1, então a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Segunda afirmação: A probabilidade de um número estar em (12, 1) é a mesma dele estar em (14, 2120).
Calculamos as probabilidades de um número estar em cada intervalo.
Para (12, 1):
Comprimento = 1 - 12 = 12, então
P1 = 122 = 14
Para (14, 2120):
Calculamos o comprimento: 2120 - 14 = 2120 - 520 = 1620 = 45
Então,
P2 = 452 = 25
Como P1 = 14 neq P2 = 25, a afirmação é falsa.

Passo 4

Terceira afirmação: A probabilidade de exatamente 3 números estarem em (12, 1) é menor que 0.1.
Aplicamos a distribuição binomial:
P(k) = binom5k p^k (1-p)^5-k
Onde p = P1 = 14, e k=3.
Calculamos:
P(3) = binom53 (14)^3 (34)^2 = 10 times 164 times 916 = 10 times 91024 = 901024 approx 0,0879
Como 0,0879 < 0,1, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Quarta afirmação: A probabilidade de exatamente 2 números estarem em (1, 54) é a mesma deles estarem em (14, 12).
Primeiro, calculamos as probabilidades de um número estar em cada intervalo.
Para (1, 54):
Comprimento = 54 - 1 = 14, então
Pa = 142 = 18
Para (14, 12):
Comprimento = 12 - 14 = 14, então
Pb = 142 = 18
Como Pa = Pb = 18, as probabilidades são iguais. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Quinta afirmação: A probabilidade de menos que 4 números serem maiores que 54 é menor que 0.5.
Primeiro, definimos o evento: menos que 4 números maiores que 54, ou seja, 0, 1, 2 ou 3 números.
Calculamos a probabilidade de um número ser maior que 54.
Comprimento do intervalo (54, 2): 2 - 54 = 34
Então,
p = 342 = 38
A probabilidade de menos que 4 números serem maiores que 54 é:
P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
Usando a distribuição binomial com n=5, p=38:
P(0) = binom50 (38)^0 (58)^5 approx 0,0305
P(1) = binom51 (38)^1 (58)^4 approx 0,1530
P(2) = binom52 (38)^2 (58)^3 approx 0,2637
P(3) = binom53 (38)^3 (58)^2 approx 0,2363
Somando:
P approx 0,0305 + 0,1530 + 0,2637 + 0,2363 = 0,6835
Como 0,6835 > 0,5, a afirmação de que essa probabilidade é menor que 0,5 é falsa.

Resposta

VFVVF

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