Sabendo que um computador foi usado para gerar cinco números aleatórios independentes uniformemente distribuídos no intervalo
, determine verdadeiro
ou falso
:
( ) A probabilidade de nenhum deles estar em
é maior que 0.1 .
( ) A probabilidade de um número estar em
é a mesma dele estar em
.
( ) A probabilidade de exatamente 3 números estar em
é menor que 0.1
( ) A probabilidade de exatamente 2 números estar em
é a mesma deles estar em
.
( ) A probabilidade de menos do que 4 sejam maiores que
é menor que 0.5 .
( ) A probabilidade de nenhum deles estar em
( ) A probabilidade de um número estar em
( ) A probabilidade de exatamente 3 números estar em
( ) A probabilidade de exatamente 2 números estar em
( ) A probabilidade de menos do que 4 sejam maiores que
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos um computador que gera cinco números aleatórios independentes, distribuídos uniformemente no intervalo
. Precisamos verificar a veracidade de cinco afirmações relacionadas às probabilidades desses números caírem em certos intervalos.
Para resolver, vamos utilizar conceitos de probabilidade de variáveis contínuas uniformemente distribuídas e distribuição binomial para eventos independentes.
Passo 2
Primeira afirmação: A probabilidade de nenhum dos cinco números estar em
é maior que 0.1.
Primeiro, determinamos a probabilidade de um único número não estar em
. O intervalo total é
, com comprimento 2. O intervalo
tem comprimento
.
Portanto, a probabilidade de um número não estar em
é:
Como os números são independentes, a probabilidade de nenhum dos cinco estar em
é:
Comparando com 0.1, temos
, então a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Segunda afirmação: A probabilidade de um número estar em
é a mesma dele estar em
.
Calculamos as probabilidades de um número estar em cada intervalo.
Para
:
Comprimento = , então
Comprimento =
Para
:
Calculamos o comprimento:
Calculamos o comprimento:
Então,
Como
, a afirmação é falsa.
Passo 4
Terceira afirmação: A probabilidade de exatamente 3 números estarem em
é menor que 0.1.
Aplicamos a distribuição binomial:
Onde
, e
.
Calculamos:
Como
, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Quarta afirmação: A probabilidade de exatamente 2 números estarem em
é a mesma deles estarem em
.
Primeiro, calculamos as probabilidades de um número estar em cada intervalo.
Para
:
Comprimento = , então
Comprimento =
Para
:
Comprimento = , então
Comprimento =
Como
, as probabilidades são iguais. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Quinta afirmação: A probabilidade de menos que 4 números serem maiores que
é menor que 0.5.
Primeiro, definimos o evento: menos que 4 números maiores que
, ou seja, 0, 1, 2 ou 3 números.
Calculamos a probabilidade de um número ser maior que
.
Comprimento do intervalo
:
Então,
A probabilidade de menos que 4 números serem maiores que
é:
Usando a distribuição binomial com
,
:
Somando:
Como
, a afirmação de que essa probabilidade é menor que 0,5 é falsa.
Resposta
VFVVF