Um sistema do tipo massa-mola é impulsionado por uma força externa senoidal
. A massa é igual a 1, a constante da mola é igual a 3 e o coeficiente de amortecimento é igual a 4. Se a massa estiver inicialmente localizada em
e em repouso, ou seja,
, ache sua equação do movimento.
Passo 1
O enunciado pede a equação do movimento de um sistema massa-mola-amortecedor forçado por uma senóide. Temos massa
, amortecimento
, mola
e força externa
, com condições iniciais
e
. O conteúdo é solução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial do movimento:
Passo 3
Agora achamos a solução geral homogênea. A equação característica é
que tem raízes
e
. Logo
Passo 4
Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos
Passo 5
Derivando:
Passo 6
Substituindo em
e agrupando termos, obtemos o sistema
Passo 7
Resolvendo, achamos
e
. Então
Passo 8
A solução geral é
Passo 9
Aplicamos as condições iniciais. De
vem
Passo 10
De
, com
obtemos
Passo 11
Resolvendo
e
, achamos
e
.
Resposta
A equação do movimento é