Um sistema do tipo massa-mola é impulsionado por uma força externa senoidal g(t)=5 sen t. A massa é igual a 1, a constante da mola é igual a 3 e o coeficiente de amortecimento é igual a 4. Se a massa estiver inicialmente localizada em y(0)=1 / 2 e em repouso, ou seja, y^prime(0)=0, ache sua equação do movimento.

Passo 1

O enunciado pede a equação do movimento de um sistema massa-mola-amortecedor forçado por uma senóide. Temos massa m=1, amortecimento c=4, mola k=3 e força externa g(t)=5sin t, com condições iniciais y(0)=tfrac12 e y'(0)=0. O conteúdo é solução de equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial do movimento:
y'' + 4y' + 3y = 5 sin t

Passo 3

Agora achamos a solução geral homogênea. A equação característica é
lambda^2 + 4lambda + 3 = 0
que tem raízes lambda=-1 e lambda=-3. Logo
yh(t) = A e^-t + B e^-3t

Passo 4

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Supomos
yp(t) = a sin t + b cos t

Passo 5

Derivando:
yp' = a cos t - b sin t,
yp'' = -a sin t - b cos t

Passo 6

Substituindo em y''+4y'+3y=5sin t e agrupando termos, obtemos o sistema
2a - 4b = 5,
4a + 2b = 0

Passo 7

Resolvendo, achamos a=tfrac12 e b=-1. Então
yp(t) = tfrac12sin t - cos t

Passo 8

A solução geral é
y(t) = A e^-t + B e^-3t + tfrac12sin t - cos t

Passo 9

Aplicamos as condições iniciais. De y(0)=tfrac12 vem
A + B - 1 = tfrac12 Rightarrow A + B = tfrac32

Passo 10

De y'(0)=0, com
y'(t) = -A e^-t -3B e^-3t + tfrac12cos t + sin t,
obtemos
- A - 3B + tfrac12 = 0 Rightarrow A + 3B = tfrac12

Passo 11

Resolvendo A + B = tfrac32 e A + 3B = tfrac12, achamos A=2 e B=-tfrac12.

Resposta

A equação do movimento é
y(t) = 2e^-t - tfrac12e^-3t + tfrac12sin t - cos t

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