Seja F(x, y)=(e^x sin y, e^x cos y+x). Calcule o trabalho exercido pelo campo de forças F ao mover uma partícula pela curva de equação x^2+y^2=1, com y >= 0, no sentido anti-horário.
Dica: Utilize o Teorema de Green.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de forças $ F(x, y) = \left(e^{x} \sin y, , e^{x} \cos y + x\right) $ e precisa calcular o trabalho feito por esse campo ao mover uma partícula ao longo da curva $ x^{2} + y^{2} = 1 $ com $ y \geq 0 $, seguindo o sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa para transformar integrais de linha em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Trabalho feito por um campo de forças. O trabalho $ W $ é dado pela integral de linha:
W
Onde $ C $ é a curva ao longo da qual a partícula se move.

Passo 3

Agora, vamos trazer o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre a região $ D $ delimitada pela curva $ C $. O Teorema de Green diz que:
D
Onde $ F = (P, Q) $.

Passo 4

Vamos identificar as componentes $ P $ e $ Q $ do nosso campo de forças:
P
Q
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $.

Passo 5

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x ( e^x cos y + x ) = e^x cos y + 1
partial Ppartial y = partialpartial y ( e^x sin y ) = e^x cos y
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (e^x cos y + 1) - e^x cos y = 1

Passo 6

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 1 , dx , dy
Isso significa que estamos calculando a área da região $ D $ delimitada pela curva $ C $.

Passo 7

A região $ D $ é a meia circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $ com $ y \geq 0 $. A área de um círculo completo de raio 1 é $ \pi $, então a área da meia circunferência é $ \frac{\pi}{2} $.

Resposta

O trabalho exercido pelo campo de forças $ F $ é $ \frac{\pi}{2} $.

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