Seja
. Calcule o trabalho exercido pelo campo de forças
ao mover uma partícula pela curva de equação
,
, no sentido anti-horário.
Dica: Utilize o Teorema de Green.
Dica: Utilize o Teorema de Green.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de forças $ F(x, y) = \left(e^{x} \sin y, , e^{x} \cos y + x\right) $ e precisa calcular o trabalho feito por esse campo ao mover uma partícula ao longo da curva $ x^{2} + y^{2} = 1 $ com $ y \geq 0 $, seguindo o sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta poderosa para transformar integrais de linha em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Trabalho feito por um campo de forças. O trabalho $ W $ é dado pela integral de linha:
Onde $ C $ é a curva ao longo da qual a partícula se move.
Passo 3
Agora, vamos trazer o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre a região $ D $ delimitada pela curva $ C $. O Teorema de Green diz que:
Onde $ F = (P, Q) $.
Passo 4
Vamos identificar as componentes $ P $ e $ Q $ do nosso campo de forças:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ e $ \frac{\partial P}{\partial y} $.
Passo 5
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Então, a integral dupla fica:
Isso significa que estamos calculando a área da região $ D $ delimitada pela curva $ C $.
Passo 7
A região $ D $ é a meia circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $ com $ y \geq 0 $. A área de um círculo completo de raio 1 é $ \pi $, então a área da meia circunferência é $ \frac{\pi}{2} $.
Resposta
O trabalho exercido pelo campo de forças $ F $ é $ \frac{\pi}{2} $.