Seja
. Encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede dois valores:
-
; -
.
As informações relevantes fornecidas são apenas a expressão de
e o ponto onde avaliar as derivadas,
.
Passo 2
Vamos usar a expansão em série de potências da função seno centrada em zero (a expansão de Maclaurin). A fórmula conhecida é
onde
é uma variável e
é um inteiro não-negativo (
). Aqui cada termo da soma é um monômio em
com coeficiente
.
Passo 3
Substituindo
na série acima obtemos a série de
:
Portanto a série de potências de
em torno de
contém apenas potências de
cujos expoentes são da forma
:
.
Passo 4
Lembrete importante sobre séries de potências e derivadas: se uma função
tem expansão
então o coeficiente
está ligado à
-ésima derivada no zero por
Invertendo, a derivada é
Isto vem de diferenciar termo a termo a série: a derivada de
repetida
vezes produz
, e avaliada em
só sobra o coeficiente multiplicado por
.
Passo 5
Aplicando isso a
: dos termos da série em
vemos que, para um dado
, a única chance de
ser diferente de zero é quando existe
tal que
. Nesse caso o coeficiente
é
, e então
Passo 6
Agora calculamos
. Procuramos
tal que
. Resolvendo,
Para
o coeficiente é
. Logo
Podemos também calcular numericamente:
Passo 7
Agora calculamos
. Verificamos se existe
inteiro não-negativo com
. Como
e
não é múltiplo de
, não existe tal
. Isso significa que na série de potências de
não aparece um termo em
. Pelo item do passo 4, o coeficiente
é zero, logo