Seja f(x)=\sin \left(x^{3}\right). Encontre f^{(15)}(0) e f^{(20)}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=\sin\bigl(x^{3}\bigr)\, e pede dois valores:
  • \,f^{(15)}(0)\,;
  • \,f^{(20)}(0)\,.
As informações relevantes fornecidas são apenas a expressão de f(x) e o ponto onde avaliar as derivadas, x=0.

Passo 2

Vamos usar a expansão em série de potências da função seno centrada em zero (a expansão de Maclaurin). A fórmula conhecida é
\sin u=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{u^{2m+1}}{(2m+1)!},
onde u é uma variável e m é um inteiro não-negativo ( m=0,1,2,\dots). Aqui cada termo da soma é um monômio em u com coeficiente (-1)^m/(2m+1)!.

Passo 3

Substituindo u=x^{3} na série acima obtemos a série de f(x):
\sin\bigl(x^{3}\bigr)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{(x^{3})^{2m+1}}{(2m+1)!} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{x^{6m+3}}{(2m+1)!}.
Portanto a série de potências de f em torno de 0 contém apenas potências de x cujos expoentes são da forma 6m+3: x^{3},x^{9},x^{15},x^{21},\dots.

Passo 4

Lembrete importante sobre séries de potências e derivadas: se uma função g(x) tem expansão
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n},
então o coeficiente a_{n} está ligado à n-ésima derivada no zero por
a_{n}=\frac{g^{(n)}(0)}{n!}.
Invertendo, a derivada é
g^{(n)}(0)=n!\,a_{n}.
Isto vem de diferenciar termo a termo a série: a derivada de x^{n} repetida n vezes produz n!, e avaliada em 0 só sobra o coeficiente multiplicado por n!.

Passo 5

Aplicando isso a f(x)=\sin(x^{3}): dos termos da série em \sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\dfrac{x^{6m+3}}{(2m+1)!} vemos que, para um dado n, a única chance de f^{(n)}(0) ser diferente de zero é quando existe m tal que n=6m+3. Nesse caso o coeficiente a_{n} é (-1)^{m}/(2m+1)!, e então
f^{(n)}(0)=n!\cdot\frac{(-1)^{m}}{(2m+1)!}.

Passo 6

Agora calculamos \,f^{(15)}(0). Procuramos m tal que 6m+3=15. Resolvendo,
6m+3=15 \quad\Rightarrow\quad 6m=12 \quad\Rightarrow\quad m=2.
Para m=2 o coeficiente é (-1)^{2}/(2\cdot2+1)! = 1/5!. Logo
f^{(15)}(0)=15!\cdot\frac{1}{5!}=\frac{15!}{5!}.
Podemos também calcular numericamente:
\frac{15!}{5!}=6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15=10897286400.

Passo 7

Agora calculamos \,f^{(20)}(0). Verificamos se existe m inteiro não-negativo com 6m+3=20. Como
20-3=17
e 17 não é múltiplo de 6, não existe tal m. Isso significa que na série de potências de f não aparece um termo em x^{20}. Pelo item do passo 4, o coeficiente a_{20} é zero, logo
f^{(20)}(0)=0.

Resposta

\,f^{(15)}(0)=\dfrac{15!}{5!}=10897286400
\,f^{(20)}(0)=0

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