Ache uma série de potências cuja soma seja
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Achar uma série de potências cuja soma seja
para . - Mostrar que
.
Informações dadas e necessárias:
- A função alvo é
definida para . - Vamos usar séries de potências (séries em potências de
), isto é somas da forma . - Trabalhamos para
, onde certas séries geométricas conhecidas convergem.
Passo 2
Lembrar e provar a série geométrica básica: para
,
Demonstração rápida (passos elementares): considere a soma parcial
Multiplicando por
obtém-se
Logo
Se
então
quando
, portanto o limite dos
é
. Assim
Aqui
é o índice da soma, vai por
.
Passo 3
Observar a derivada de
. Usando a regra da cadeia (derivada de
é
):
Agora substituir a série geométrica do Passo 2 em
. Para
vale
Isto significa que a derivada de
é dada por uma série de potências conhecida.
Passo 4
Integrar a série obtida para recuperar
. A integração termo a termo é permitida dentro do raio de convergência de uma série de potências (aqui
); na prática, isso significa que podemos integrar cada termo
separadamente. Assim,
Integrando cada termo
(mais uma constante de integração
), obtemos
Reindexando a soma trocando
por
(ou observando que a soma começa em
) dá
Agora determinamos
usando um ponto fácil: em
temos
. Substituindo
na série,
portanto
. Conclusão:
Explicando a fórmula: o termo geral é
,
é o índice da soma que vai de
a
, e a igualdade vale para todo
com
.
Passo 5
Usar a série encontrada para provar a identidade envolvendo
. Substitua
(note que
, então a série converge perfeitamente):
O lado esquerdo é
. Assim
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se a identidade desejada: