Ache uma série de potências cuja soma seja f(x)=\ln (1-x),|x|<1. Mostre que \ln 2=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Achar uma série de potências cuja soma seja f(x)=\ln(1-x) para |x|<1.
  • Mostrar que \ln 2=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n\,2^{n}}.
Informações dadas e necessárias:
  • A função alvo é f(x)=\ln(1-x) definida para |x|<1.
  • Vamos usar séries de potências (séries em potências de x), isto é somas da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
  • Trabalhamos para |x|<1, onde certas séries geométricas conhecidas convergem.

Passo 2

Lembrar e provar a série geométrica básica: para |x|<1,
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
Demonstração rápida (passos elementares): considere a soma parcial
S_N=\sum_{n=0}^{N} x^{n}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{N}.
Multiplicando por 1-x obtém-se
(1-x)S_N = 1-x^{N+1}.
Logo
S_N=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}.
Se |x|<1 então x^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, portanto o limite dos S_N é \dfrac{1}{1-x}. Assim
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\qquad(\lvert x\rvert<1).
Aqui n é o índice da soma, vai por n=0,1,2,\dots.

Passo 3

Observar a derivada de f(x)=\ln(1-x). Usando a regra da cadeia (derivada de \ln u é u'/u):
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(1-x)=\frac{-(1)}{1-x}=-\frac{1}{1-x}.
Agora substituir a série geométrica do Passo 2 em \dfrac{1}{1-x}. Para |x|<1 vale
f'(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
Isto significa que a derivada de f é dada por uma série de potências conhecida.

Passo 4

Integrar a série obtida para recuperar f(x). A integração termo a termo é permitida dentro do raio de convergência de uma série de potências (aqui |x|<1); na prática, isso significa que podemos integrar cada termo -x^{n} separadamente. Assim,
f(x)=\int f'(x)\,dx = \int \left(-\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)dx = -\sum_{n=0}^{\infty}\int x^{n}dx.
Integrando cada termo \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (mais uma constante de integração C), obtemos
f(x) = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Reindexando a soma trocando n por n-1 (ou observando que a soma começa em n=1) dá
f(x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n} + C.
Agora determinamos C usando um ponto fácil: em x=0 temos f(0)=\ln(1-0)=0. Substituindo x=0 na série,
0 = f(0) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0^{n}}{n} + C = 0 + C,
portanto C=0. Conclusão:
\boxed{\displaystyle \ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\qquad(\lvert x\rvert<1).}
Explicando a fórmula: o termo geral é -\dfrac{x^{n}}{n}, n é o índice da soma que vai de 1 a \infty, e a igualdade vale para todo x com |x|<1.

Passo 5

Usar a série encontrada para provar a identidade envolvendo \ln 2. Substitua x=\dfrac{1}{2} (note que |1/2|<1, então a série converge perfeitamente):
\ln\!\left(1-\frac{1}{2}\right) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/2)^{n}}{n}.
O lado esquerdo é \ln(1/2)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2. Assim
-\ln 2 = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^{n}}.
Multiplicando ambos os lados por -1 obtém-se a identidade desejada:
\boxed{\displaystyle \ln 2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^{n}}.}

Resposta

\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}\qquad(|x|<1)
\ln 2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^{n}}

Exercícios relacionados