Ache a soma das séries.
Passo 1
O enunciado pede a soma da série infinita e nos dá explicitamente o termo geral. Vou reescrever com clareza o que temos e o que se quer:
- Série dada:
-
O objetivo é: encontrar o valor numérico (a soma) dessa série, ou seja, calcular o somatório acima.
-
Informação útil imediata: o termo para
vale
o que dá uma sensação inicial dos termos, mas ainda precisamos somar todos os
.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral algebricamente para ver uma forma mais manejável.
Observe que
. Substituindo isso no termo geral obtemos:
Portanto a série inteira pode ser escrita como
Passo 3
Agora vamos ver qual série conhecida aparece no somatório à direita. Uma série fundamental que usamos muito é a série de Taylor (Maclaurin) do cosseno. Ela diz o seguinte:
Explicando essa fórmula: a função
pode ser expandida em série de potências em torno de
; o índice
percorre os termos pares da potência (é por isso que aparece
), cada termo tem sinal alternado dado por
, e o denominador
vem da derivada de ordem
avaliada em zero. Essa série converge para
para todo
(raio de convergência infinito).
Passo 4
Comparando a série da fórmula do cosseno com a nossa série interna, note que, se tomarmos
, obtemos
Este último somatório é exatamente o que aparece dentro do parêntese na expressão que obtivemos no Passo 2. Assim
Passo 5
Agora avaliamos o cosseno no ponto
. Pelo círculo trigonométrico, sabemos que
Logo o somatório interior é zero, e então voltando à expressão do Passo 2:
Passo 6
Interpretação final e motivação para a prova: a chave foi reconhecer o padrão
como a série de
com
escolhido adequadamente. Esse tipo de identificação é muito útil em provas sem calculadora: sempre tente transformar o termo geral para ver se aparece a forma de séries conhecidas (exponencial, seno, cosseno, hiperbólicas, etc.). Você também pode checar o termo inicial
para garantir que fatores constantes foram manipulados corretamente.