Ache a soma das séries.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2 n-1}}{2^{2 n-1}(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita e nos dá explicitamente o termo geral. Vou reescrever com clareza o que temos e o que se quer:
  • Série dada:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2 n-1}}{2^{2 n-1}(2 n)!}.
  • O objetivo é: encontrar o valor numérico (a soma) dessa série, ou seja, calcular o somatório acima.
  • Informação útil imediata: o termo para n=0 vale
\frac{(-1)^{0}\pi^{-1}}{2^{-1}(0)!}=\frac{\pi^{-1}}{1/2}= \frac{2}{\pi},
o que dá uma sensação inicial dos termos, mas ainda precisamos somar todos os n.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral algebricamente para ver uma forma mais manejável.
Observe que 2^{2n-1} = \dfrac{2^{2n}}{2} = \dfrac{4^{n}}{2}. Substituindo isso no termo geral obtemos:
\frac{(-1)^{n}\pi^{2n-1}}{2^{2n-1}(2n)!} = \frac{(-1)^{n}\pi^{2n-1}}{\dfrac{4^{n}}{2}(2n)!} = 2\pi^{-1}\cdot \frac{(-1)^{n}(\pi^{2}/4)^{n}}{(2n)!}.
Portanto a série inteira pode ser escrita como
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2 n-1}}{2^{2 n-1}(2 n)!} = \frac{2}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\bigl(\dfrac{\pi^{2}}{4}\bigr)^{n}}{(2n)!}.

Passo 3

Agora vamos ver qual série conhecida aparece no somatório à direita. Uma série fundamental que usamos muito é a série de Taylor (Maclaurin) do cosseno. Ela diz o seguinte:
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}.
Explicando essa fórmula: a função \cos x pode ser expandida em série de potências em torno de x=0; o índice k percorre os termos pares da potência (é por isso que aparece x^{2k}), cada termo tem sinal alternado dado por (-1)^k, e o denominador (2k)! vem da derivada de ordem 2k avaliada em zero. Essa série converge para \cos x para todo x (raio de convergência infinito).

Passo 4

Comparando a série da fórmula do cosseno com a nossa série interna, note que, se tomarmos x=\dfrac{\pi}{2}, obtemos
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(\pi^{2}/4)^{n}}{(2n)!}.
Este último somatório é exatamente o que aparece dentro do parêntese na expressão que obtivemos no Passo 2. Assim
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\bigl(\dfrac{\pi^{2}}{4}\bigr)^{n}}{(2n)!} = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Agora avaliamos o cosseno no ponto \dfrac{\pi}{2}. Pelo círculo trigonométrico, sabemos que
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
Logo o somatório interior é zero, e então voltando à expressão do Passo 2:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \pi^{2 n-1}}{2^{2 n-1}(2 n)!} = \frac{2}{\pi}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Interpretação final e motivação para a prova: a chave foi reconhecer o padrão (-1)^n (\text{constante})^{n}/(2n)! como a série de \cos x com x escolhido adequadamente. Esse tipo de identificação é muito útil em provas sem calculadora: sempre tente transformar o termo geral para ver se aparece a forma de séries conhecidas (exponencial, seno, cosseno, hiperbólicas, etc.). Você também pode checar o termo inicial n=0 para garantir que fatores constantes foram manipulados corretamente.

Resposta

0

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