1. Seja o sinal x(t)=3 e^{2 t} u(-t)-3 e^{-2 t} u(t). Identifique a expressão matemática do espectro de x(t) (de amplitude e de fase). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal
x(t)=3e^{2t}u(-t)\;-\;3e^{-2t}u(t)
e pede o espectro (transformada de Fourier), dividido em amplitude e fase. Para isso vamos usar a definição
X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\,e^{-j\omega t}dt
e as propriedades conhecidas de transformada de exponenciais unilaterais.

Passo 2

Como u(-t)=1 para t\le0 e u(t)=1 para t\ge0, separamos a integral em duas partes:
X(\omega) =\int_{-\infty}^{0}3e^{2t}e^{-j\omega t}dt \;-\; \int_{0}^{\infty}3e^{-2t}e^{-j\omega t}dt.

Passo 3

Calculemos a parte de t\le0:
\int_{-\infty}^{0}3e^{(2-j\omega)t}dt =3\left[\frac{e^{(2-j\omega)t}}{2-j\omega}\right]_{t=-\infty}^{0} =3\cdot\frac{1-0}{2-j\omega} =\frac{3}{2-j\omega},
já que \Re\{2-j\omega\}=2>0 garante convergência quando t\to-\infty.

Passo 4

Agora a parte de t\ge0:
\int_{0}^{\infty}3e^{-(2+j\omega)t}dt =3\left[\frac{e^{-(2+j\omega)t}}{-(2+j\omega)}\right]_{t=0}^{\infty} =3\cdot\frac{1}{2+j\omega}
e havia um sinal menos na separação, logo contribui como -\tfrac{3}{2+j\omega}.

Passo 5

Somando as duas partes:
X(\omega) =\frac{3}{2-j\omega}-\frac{3}{2+j\omega} =3\;\frac{(2+j\omega)-(2-j\omega)}{(2-j\omega)(2+j\omega)} =\frac{6j\omega}{4+\omega^2}.

Passo 6

Da forma X(\omega)=\tfrac{6j\omega}{4+\omega^2} extraímos
amplitude e fase:
\text{Amplitude:}\quad A(\omega)=\bigl|X(\omega)\bigr| =\frac{6\,|\omega|}{4+\omega^2},
\text{Fase:}\quad \varphi(\omega)=\arg\bigl(j\omega\bigr) =\begin{cases} +\tfrac{\pi}{2},&\omega>0,\\\\ -\tfrac{\pi}{2},&\omega<0,\\\\ 0,&\omega=0\\ (\text{valor indiferente}). \end{cases}

Resposta

Amplitude: \displaystyle A(\omega)=\frac{6\,|\omega|}{4+\omega^2}.
Fase: \displaystyle \varphi(\omega)=\frac{\pi}{2}\,\mathrm{sgn}(\omega).

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