Seja
.
b) Se
, determine
b) Se
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde nos pedem para achar a derivada da função $ f(x) = x^{2} \tanh x $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivação de funções que envolvem funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e saber como derivar a função $ \tanh x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função $ \tanh x $ é uma função hiperbólica definida por:
Ela possui uma derivada conhecida que será útil para nós.
Passo 3
A função que queremos derivar é $ f(x) = x^{2} \tanh x $. Como temos o produto de duas funções, vamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto diz que:
Onde $ f $ e $ g $ são funções de $ x $.
Passo 4
Identificamos $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = \tanh x $. Vamos derivar cada uma delas separadamente.
Primeiro, derivamos $ f(x) = x^{2} $:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ g(x) = \tanh x $. Sabemos que:
E como $ sech x = \frac{1}{\cosh x} $, podemos escrever:
Passo 6
Aplicando a regra do produto, substituímos as derivadas encontradas:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão final:
Resposta
A derivada de $ f(x) = x^{2} \tanh x $ é: