Seja sinh x=e^x-e^-x2 e cosh x=e^x+e^-x2.
b) Se f(x)=x^2 tanh x, determine f^prime(x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde nos pedem para achar a derivada da função $ f(x) = x^{2} \tanh x $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivação de funções que envolvem funções hiperbólicas. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra do produto e saber como derivar a função $ \tanh x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função $ \tanh x $ é uma função hiperbólica definida por:
tanh x
Ela possui uma derivada conhecida que será útil para nós.

Passo 3

A função que queremos derivar é $ f(x) = x^{2} \tanh x $. Como temos o produto de duas funções, vamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto diz que:
f(x) = x^2 tanh x
Onde $ f $ e $ g $ são funções de $ x $.

Passo 4

Identificamos $ f(x) = x^{2} $ e $ g(x) = \tanh x $. Vamos derivar cada uma delas separadamente.
Primeiro, derivamos $ f(x) = x^{2} $:
f(x) = x^2

Passo 5

Agora, vamos derivar $ g(x) = \tanh x $. Sabemos que:
g(x) = tanh x
E como $ sech x = \frac{1}{\cosh x} $, podemos escrever:
ddx tanh x = sech^2 x

Passo 6

Aplicando a regra do produto, substituímos as derivadas encontradas:
f'(x) = (x^2)' cdot tanh x + x^2 cdot (tanh x)' = 2x cdot tanh x + x^2 cdot (1 - tanh^2 x)

Passo 7

Podemos simplificar a expressão final:
f'(x) = 2x tanh x + x^2 (1 - tanh^2 x)

Resposta

A derivada de $ f(x) = x^{2} \tanh x $ é:
f(x) = x^2 tanh x

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