Considere a função vetorial
.
Calcule o comprimento de arco de
do ponto
ao ponto
.
Se necessário, utilize
Calcule o comprimento de arco de
Se necessário, utilize
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
para
. O objetivo é calcular o comprimento do arco dessa curva desde o ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço, que envolve derivar a função vetorial e integrar a magnitude da derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade com que a curva está se movendo em cada direção.
Vamos calcular cada componente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a magnitude da derivada
, que é dada por:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Primeiro, expandimos os quadrados:
Somando as duas expressões e adicionando 1:
Observe que os termos
e
se cancelam:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 4
Com a magnitude da derivada encontrada, podemos agora configurar a integral para o comprimento do arco. O comprimento
do arco da curva
de
até
é dado por:
No nosso caso, queremos de
até
, então:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula fornecida:
No nosso caso,
, então
.
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração.
Para
:
Para
:
Então, o comprimento do arco é apenas o valor em
.
Resposta
O comprimento de arco de
do ponto
ao ponto
é: