Considere a função vetorial gamma(t)=(t cos t, t sen t, t), t >= 0.
Calcule o comprimento de arco de gamma do ponto (0,0,0) ao ponto (2 pi, 0,2 pi).
Se necessário, utilize integral raizt^2+a^2 d t=12(t raizt^2+a^2+a^2 ln (t+raizt^2+a^2|a|))+C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial gamma(t) = (t cos t, t sin t, t) para t >= 0. O objetivo é calcular o comprimento do arco dessa curva desde o ponto (0,0,0) até o ponto (2pi, 0, 2pi). Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço, que envolve derivar a função vetorial e integrar a magnitude da derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial gamma(t). A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade com que a curva está se movendo em cada direção.
gamma'(t) = ( ddt(t cos t), ddt(t sin t), ddt(t) )
Vamos calcular cada componente:
  1. Para a primeira componente:
ddt(t cos t) = cos t - t sin t
  1. Para a segunda componente:
ddt(t sin t) = sin t + t cos t
  1. Para a terceira componente:
ddt(t) = 1
Então, a derivada fica:
gamma'(t) = (cos t - t sin t, sin t + t cos t, 1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a magnitude da derivada gamma'(t), que é dada por:
|gamma'(t)| = raiz(cos t - t sin t)^2 + (sin t + t cos t)^2 + (1)^2
Vamos simplificar isso passo a passo.
Primeiro, expandimos os quadrados:
(cos t - t sin t)^2 = cos^2 t - 2t sin t cos t + t^2 sin^2 t
(sin t + t cos t)^2 = sin^2 t + 2t sin t cos t + t^2 cos^2 t
Somando as duas expressões e adicionando 1:
|gamma'(t)|^2 = (cos^2 t - 2t sin t cos t + t^2 sin^2 t) + (sin^2 t + 2t sin t cos t + t^2 cos^2 t) + 1
Observe que os termos -2t sin t cos t e +2t sin t cos t se cancelam:
|gamma'(t)|^2 = cos^2 t + sin^2 t + t^2 (sin^2 t + cos^2 t) + 1
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
|gamma'(t)|^2 = 1 + t^2 (1) + 1 = 2 + t^2
Portanto:
|gamma'(t)| = raizt^2 + 2

Passo 4

Com a magnitude da derivada encontrada, podemos agora configurar a integral para o comprimento do arco. O comprimento L do arco da curva gamma(t) de t = a até t = b é dado por:
L = integrala^b |gamma'(t)| , dt
No nosso caso, queremos de t = 0 até t = 2pi, então:
L = integral0^2pi raizt^2 + 2 , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula fornecida:
integral raizt^2 + a^2 , dt = 12 ( t raizt^2 + a^2 + a^2 ln ( t + raizt^2 + a^2|a| ) ) + C
No nosso caso, a^2 = 2, então a = raiz2.
Aplicando a fórmula:
L = [ 12 ( t raizt^2 + 2 + 2 ln ( t + raizt^2 + 2raiz2 ) ) ]0^2pi

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração.
Para t = 2pi:
12 ( 2pi raiz(2pi)^2 + 2 + 2 ln ( 2pi + raiz(2pi)^2 + 2raiz2 ) )
Para t = 0:
12 ( 0 cdot raiz0 + 2 + 2 ln ( 0 + raiz0 + 2raiz2 ) ) = 12 ( 0 + 2 ln(1) ) = 0
Então, o comprimento do arco é apenas o valor em t = 2pi.

Resposta

O comprimento de arco de gamma do ponto (0,0,0) ao ponto (2pi, 0,2pi) é:
L = pi raiz4pi^2 + 2 + ln ( 2pi + raiz4pi^2 + 2raiz2 )

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