Seja um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade volumétrica de carga variando linearmente com o raio, rho=rho0 r / a ( rho0 e a constantes). Determine a carga contida: (b) no cone r <= a, 0 <= theta <= 0,1 pi;

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente determinar a carga total dentro de um cone em coordenadas esféricas, sabendo que a densidade volumétrica varia com o raio como
rho(r) = rho0 ,ra,
onde e são constantes. O que vamos usar:
  • A expressão do volume em esféricas, .
  • A ideia de integral tripla para somar a carga infinitesimal sobre todo o volume , , .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a carga total Q=integral tripla rho(r),dV =integralphi=0^2pi!integraltheta=0^0.1pi!integralr=0^a l(rho0rar),r^2sintheta,dr,dtheta,dphi como
Aqui usamos teoria de integrais múltiplas: a gente substitui e e integra nas três variáveis.

Passo 3

Vamos primeiro fazer a integral em rho0ra,r^2 = rho0,r^3a . O integrando em integral0^a rho0,r^3a,dr = rho0a,integral0^a r^3,dr = rho0a,a^44 = rho0,a^34 é
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Passo 4

Agora sobra a parte angular em integral0^0.1pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^0.1pi = 1 - cos(0.1pi) e . A de é

Passo 5

E a de integral0^2pidphi = 2pi é simples, de Q = rho0,a^34;times;(1-cos(0.1pi));times;2pi = rho0,a^3,pi2,l(1 - cos(tfracpi10)r) a :
Multiplicando tudo dá

Resposta

boxedQ = rho0,a^3,pi2,l[1 - cosl(tfracpi10r)r]

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