Seja um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade volumétrica de carga variando linearmente com o raio,
(
e
constantes). Determine a carga contida: (b) no cone
;
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente determinar a carga total dentro de um cone em coordenadas esféricas, sabendo que a densidade volumétrica varia com o raio como
onde
e
são constantes. O que vamos usar:
- A expressão do volume em esféricas,
. - A ideia de integral tripla para somar a carga infinitesimal
sobre todo o volume , , .
Passo 2
Primeiro, escrevemos a carga total
como
Aqui usamos teoria de integrais múltiplas: a gente substitui
e
e integra nas três variáveis.
Passo 3
Vamos primeiro fazer a integral em
. O integrando em
é
Logo
Passo 4
Agora sobra a parte angular em
e
. A de
é
Passo 5
E a de
é simples, de
a
:
Multiplicando tudo dá