Seja um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade volumétrica de carga variando linearmente com o raio,
(
e
constantes). Determine a carga contida: (a) na esfera
; (b) no cone
; © na região
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que em coordenadas esféricas a densidade de carga varia como
sendo
e
constantes. A gente precisa calcular a carga total
em três regiões diferentes:
(a) toda a esfera de raio ,
(b) só o cone com e
de
a
,
© a ‘fatia’ em de
a
, mas
e
de
a
.
O assunto aqui é integrar uma densidade volumétrica em coordenadas esféricas. Vamos precisar do elemento de volume
(a) toda a esfera de raio
(b) só o cone com
© a ‘fatia’ em
O assunto aqui é integrar uma densidade volumétrica em coordenadas esféricas. Vamos precisar do elemento de volume
e montar uma integral tripla.
Passo 2
Teoria rápida do que rola: pra achar carga
, a gente faz
Em esféricas, você define os limites de
,
e
segundo a região e insere
e
. Depois resolve a integral em
,
e
, nessa ordem ou outra que preferir. As integrais envolvendo
viram
, e as de
viram
.
Passo 3
Região:
,
,
.
Montamos
Montamos
- Integramos em
:
- Em
: - Em
:
Multiplicando tudo:
Passo 4
Agora o cone de meia-ponteira
, mas
e
iguais antes:
O
-dr dá de novo
. A integral em
é
. A de
é
Logo
Logo
Passo 5
Aqui a “fatia” em
:
vai de
a
,
de
a
,
de
a
.
-
-integra dá . -
-integra dá 2. -
-integra agora é .
Somando:
Resposta
(a)
.
(b)
©
(b)
©