Seja um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade volumétrica de carga variando linearmente com o raio, rho=rho0 r / a ( rho0 e a constantes). Determine a carga contida: (a) na esfera r <= a; (b) no cone r <= a, 0 <= theta <= 0,1 pi; © na região r <= a, 0 <= theta <= pi, 0 <= phi <= 0,2 pi.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em coordenadas esféricas a densidade de carga varia como
rho(r) = rho0,ra,
sendo dV = r^2,sintheta,dr,dtheta,dphi e constantes. A gente precisa calcular a carga total em três regiões diferentes:
(a) toda a esfera de raio ,
(b) só o cone com e de a ,
© a ‘fatia’ em de a , mas e de a .
O assunto aqui é integrar uma densidade volumétrica em coordenadas esféricas. Vamos precisar do elemento de volume
e montar uma integral tripla.

Passo 2

Teoria rápida do que rola: pra achar carga Q = integralV rho(r),dV , a gente faz
Em esféricas, você define os limites de , e segundo a região e insere e . Depois resolve a integral em , e , nessa ordem ou outra que preferir. As integrais envolvendo viram , e as de viram .

Passo 3

Região: Qa = integral0^2pi!integral0^pi!integral0^a gl(rho0ragr), r^2sintheta,dr,dtheta,dphi , Qa = rho0,a^34times 2times 2pi = rho0,pi,a^3 , .
Montamos
  1. Integramos em :
  2. Em :
  3. Em :
    Multiplicando tudo:

Passo 4

Agora o cone de meia-ponteira Qb = integral0^2pi!integral0^0.1pi!integral0^a rho0ar^3sintheta,dr,dtheta,dphi , mas Qb = rho0,a^34times 2pi timesl(1-cos(0.1pi)r) = rho0,pi,a^32,l(1-cos(0.1pi)r) e iguais antes:
O -dr dá de novo . A integral em é . A de é

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Passo 5

Aqui a “fatia” em Qc = integral0^0.2pi!integral0^pi!integral0^a rho0ar^3sintheta,dr,dtheta,dphi : Qc = rho0,a^34times 2times 0.2pi = 0.1,rho0,pi,a^3 vai de a , de a , de a .
  • -integra dá .
  • -integra dá 2.
  • -integra agora é .
    Somando:

Resposta

(a) .
(b)
©

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