A densidade volumétrica de carga é definida, em coordenadas cilíndricas, para a região 0,005 <= rho <= 0,02,0 <= phi <= pi / 2,0 <= z <= 0,04, como sendo rhov=(rho^2-10^-4) z sen 2 phi C / m^3, e rhov=0 para todo o espaço restante. Determine: (a) rhov máximo; (b) a carga total em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma densidade volumétrica de carga em coordenadas cilíndricas
rhov(rho,phi,z) = (rho^2 - 10^-4),z,sin(2phi)para 0,005<=rho<=0,02,;0<=phi<=pi2,;0<= z<=0,04,
e zero em qualquer outro lugar. A gente precisa de dois resultados:
a) o valor máximo de rhov dentro dessa região;
b) a carga total, ou seja
Q = integral tripla rhov,dV
Para resolver isso, vamos usar:
  • No (a), ideias de como maximizar funções em intervalos (aqui é simples porque tudo é positivo ou cresce monotonicamente).
  • No (b), integrar em coordenadas cilíndricas, lembrando que dV = rho,drho,dphi,dz.

Passo 2

Queremos achar onde rhov(rho,phi,z)=(rho^2-10^-4),z,sin(2phi) fica máximo.
  1. Note que z e sin(2phi) são não negativos no intervalo dado. Para maximizar o produto, cada fator deve estar no seu ponto máximo:
    • z vai de 0 até 0,04, então o máximo é em z=0,04.
    • sin(2phi), para 0<=phi<=pi/2, é máximo quando 2phi=pi/2impliesphi=pi/4, onde sin(2phi)=1.
  2. O fator (rho^2-10^-4) cresce com rho quando rho^2>10^-4. Nosso intervalo de rho é de 0,005 a 0,02. Note que:
    • Em rho=0,005, rho^2=2,5times10^-5<10^-4, logo ali a expressão é negativa.
    • Em rho=0,02, rho^2=4times10^-4>10^-4, dando valor positivo e maior.
      Logo o máximo ocorre em rho=0,02.
Substituindo tudo:
rhov,max = l(0,02^2 -10^-4r);(0,04);(1) = (4times10^-4-10^-4);0,04 =3times10^-4times0,04=1,2times10^-5;rm C/m^3

Passo 3

Agora a carga total:
Q=integral triplarm região rhov(rho,phi,z),dV =integralz=0^0,04!!integralphi=0^pi/2!!integralrho=0,005^0,02 (rho^2-10^-4),z,sin2phi;(rho,drho,dphi,dz)ã
A ideia é separar em produto de integrais porque a função se separa em fatores que dependem só de rho, só de phi e só de z:
Q = l[integral0^0,04 z,dzr];l[integral0^pi/2sin2phi,dphir];l[integral0,005^0,02(rho^2-10^-4),rho,drhor]

Passo 4

Calcule cada parte:
  1. integral em z:
integral0^0,04z,dz = z^22|0^0,04 = (0,04)^22 = 0,00162=0,0008
2) integral em phi:
$$\int_0^{\pi/2}\sin2\phi,d\phi = \left[-\frac{\cos2\phi}{2}\right]_0^{\pi/2}
= \Bigl(-\frac{\cos\pi}{2}+\frac{\cos0}{2}\Bigr)
= \Bigl(-\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}\Bigr)=1.$$

Passo 5

  1. integral em rho:
I = integral0,005^0,02(rho^2-10^-4),rho,drho = integral(rho^3 -10^-4rho),drho = rho^44 - 10^-4,rho^22;g|0,005^0,02
  • Em rho=0,02:
    rho^4/4 = (0,02)^44=1,6times10^-74=4,0times10^-8, 10^-4rho^22=10^-4cdot4times10^-42=2,0times10^-8,
    4,0times10^-8-2,0times10^-8=2,0times10^-8.
  • Em rho=0,005:
    rho^4/4=6,25times10^-104=1,5625times10^-10, 10^-4rho^22=10^-4cdot2,5times10^-52=1,25times10^-9,
    1,5625times10^-10-1,25times10^-9=-1,09375times10^-9.
Subtraindo limites:
$$I = 2,0\times10^{-8} -(-1,09375\times10^{-9})
=2,109375\times10^{-8}.$$
Agora junta tudo:
$$Q = 0{,}0008 \times 1 \times 2,109375\times10^{-8}
=1,6875\times10^{-11};C.$$

Resposta

(a) rhov,max = 1,2times10^-5;C/m^3.
(b) Q = 1,6875times10^-11;C, (aprox.\ 1,69times10^-11,C).

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