A densidade volumétrica de carga é definida, em coordenadas cilíndricas, para a região , como sendo , e para todo o espaço restante. Determine: (a) máximo; (b) a carga total em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma densidade volumétrica de carga em coordenadas cilíndricas
e zero em qualquer outro lugar. A gente precisa de dois resultados:
a) o valor máximo de dentro dessa região;
b) a carga total, ou seja
Para resolver isso, vamos usar:
No (a), ideias de como maximizar funções em intervalos (aqui é simples porque tudo é positivo ou cresce monotonicamente).
No (b), integrar em coordenadas cilíndricas, lembrando que .
Passo 2
Queremos achar onde fica máximo.
Note que e são não negativos no intervalo dado. Para maximizar o produto, cada fator deve estar no seu ponto máximo:
vai de 0 até 0,04, então o máximo é em .
, para , é máximo quando , onde .
O fator cresce com quando . Nosso intervalo de é de 0,005 a 0,02. Note que:
Em , , logo ali a expressão é negativa.
Em , , dando valor positivo e maior.
Logo o máximo ocorre em .
Substituindo tudo:
Passo 3
Agora a carga total:
A ideia é separar em produto de integrais porque a função se separa em fatores que dependem só de , só de e só de :
Passo 4
Calcule cada parte:
integral em :
2) integral em phi:
$$\int_0^{\pi/2}\sin2\phi,d\phi = \left[-\frac{\cos2\phi}{2}\right]_0^{\pi/2}
= \Bigl(-\frac{\cos\pi}{2}+\frac{\cos0}{2}\Bigr)
= \Bigl(-\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}\Bigr)=1.$$
Passo 5
integral em rho:
I = integral0,005^0,02(rho^2-10^-4),rho,drho = integral(rho^3 -10^-4rho),drho = rho^44 - 10^-4,rho^22;g|0,005^0,02
Em rho=0,02: rho^4/4 = (0,02)^44=1,6times10^-74=4,0times10^-8, 10^-4rho^22=10^-4cdot4times10^-42=2,0times10^-8,
dá 4,0times10^-8-2,0times10^-8=2,0times10^-8.
Em rho=0,005: rho^4/4=6,25times10^-104=1,5625times10^-10, 10^-4rho^22=10^-4cdot2,5times10^-52=1,25times10^-9,
dá 1,5625times10^-10-1,25times10^-9=-1,09375times10^-9.