Seja um sistema discreto cuja equaçõo de diferença que o modela é: y[n]=1 / 5 sumk=0^2 x[n-k].
Determine a amplitude do sinal de saída quando a entrada é x[n]=2 * e^j pi2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema discreto descrito por uma equação de diferença: $ y[n] = \frac{1}{5} \sum_{k=0}^{2} x[n-k] $. A gente precisa descobrir qual é a amplitude do sinal de saída $ y[n] $ quando a entrada é $ x[n] = 2 \cdot e^{j \frac{\pi}{2} n} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e invariantes no tempo, especialmente a análise de sinais usando exponenciais complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação de diferença nos diz como o sistema processa o sinal de entrada para gerar a saída. Aqui, $ y[n] $ é uma média dos três últimos valores de $ x[n] $:
y[n]

Passo 3

Sabendo que o sistema é linear e invariante no tempo, se a entrada é uma exponencial complexa do tipo $ x[n] = A \cdot e^{j \omega n} $, a saída também será uma exponencial complexa da mesma frequência, mas com amplitude alterada por uma função chamada função de transferência $ H(e^{j\omega}) $:
x[n] = A cdot e^j omega n

Passo 4

Vamos encontrar a função de transferência $ H(e^{j\omega}) $. A equação de diferença pode ser transformada para o domínio da frequência:
H(e^jomega)

Passo 5

Agora, substituímos $ \omega = \frac{\pi}{2} $ na função de transferência:
omega = pi2
Calculando cada termo:
- $ e^{-j\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - j\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -j $
- $ e^{-j\pi} = \cos(\pi) - j\sin(\pi) = -1 $
Então:
H(e^jpi2) = 15 ( 1 + e^-jpi2 + e^-jpi )
A amplitude de $ H $ é:
e^-jpi2 = cos(pi2) - jsin(pi2) = -j

Resposta

A amplitude do sinal de saída $ y[n] $ é $ \frac{2}{5} $.

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