Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x0 para a função dada.
1x ; x0=-1

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: queremos escrever a série de Taylor de f(x)=1x em torno de x0=-1, usando notação de somatório. O conteúdo é série de Taylor e precisamos conhecer a fórmula geral dos derivada de f e avaliá-las em x0.

Passo 2

Para obter a fórmula geral de f^(n)(x), calculamos algumas derivadas e identificamos o padrão. Temos
f(x)=1x, f'(x)=-1x^2, f''(x)=2!,1x^3, f^(3)(x)=-3!,1x^4,dots
Observamos que alterna o sinal e cresce o fatorial. Assim,
f^(n)(x)=(-1)^n,n!,1x^n+1

Passo 3

Agora avaliamos essa expressão em x0=-1:
f^(n)(-1)=(-1)^n,n!,1(-1)^n+1=(-1)^n,n!,(-1)^-n-1=-n!,pois (-1)^n(-1)^-n-1=(-1)^-1=-1.
Finalmente, a série de Taylor é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(-1)n!(x+1)^n=sumn=0^infty-n!n!(x+1)^n=-sumn=0^infty(x+1)^n

Resposta

-sumn=0^infty(x+1)^n

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