Seja o sistema de equações lineares:
6 x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=11
2 x_{1}+x_{2}-8 x_{3}=-15
x_{1}-7 x_{2}+x_{3}=10
a) analise a convergência do sistema dado, para uma solução através do método de Gauss-Seidel, pelo critério de Sassenfeld.
b) caso o critério não seja satisfeito, que procedimento pode ser feito para tornar o processo convergente.
c) satisfeito o critério, utilize 10 iterações para determinar uma aproximação para a solução, utilizando o método Gauss-Seidel com vetor inicial \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 6x_{1}-3x_{2}+x_{3}=11,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}-8x_{3}=-15,\\[4pt] x_{1}-7x_{2}+x_{3}=10, \end{cases}
e pede três coisas:
  1. Verificar a convergência do método de Gauss–Seidel pelo critério de Sassenfeld para a ordem dada das equações.
  2. Caso o critério não seja satisfeito, dizer qual procedimento pode ser feito para tornar o processo convergente.
  3. Se o critério for satisfeito (após o procedimento se necessário), aplicar 10 iterações do método de Gauss–Seidel com vetor inicial \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e apresentar a aproximação obtida.
Informações relevantes dadas: os coeficientes das equações (acima) e o vetor inicial para as iterações. A resolução começa a partir do próximo passo.]

Passo 2

Vou explicar didaticamente o critério de Sassenfeld (aula rapidinha, mas clara). Seja um sistema A x=b de dimensão n. Definimos números \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n pela regra:
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{n}|a_{1j}|
e, para i\ge2,
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Big).
O que isso significa em palavras: ao calcular \beta_i usamos os \beta_j já calculados para j<i (o método “pesa” os coeficientes das colunas anteriores pela influência já estimada) e usamos os valores absolutos das entradas à direita não ponderadas. O critério de Sassenfeld diz: se
\max_{1\le i\le n}\beta_i<1,
então o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial. É uma condição suficiente (garante convergência), não necessária (às vezes converge mesmo sem satisfazer o critério).
Agora vou aplicar isso ao sistema na ordem dada.

Passo 3

Calculo das \beta para a ordem das equações dada (primeira equação é a linha 1, etc). Os coeficientes em módulo que precisamos são:
|a_{11}|=6,\;|a_{12}|=3,\;|a_{13}|=1,
|a_{21}|=2,\;|a_{22}|=1,\;|a_{23}|=8,
|a_{31}|=1,\;|a_{32}|=7,\;|a_{33}|=1.
Calculemos:
\beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\frac{3+1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667.
\beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1 + |a_{23}|}{|a_{22}|} =\frac{2\cdot\frac{2}{3} + 8}{1}=\frac{4}{3}+8=\frac{28}{3}\approx9{,}3333.
Observação: já aqui \beta_2>1. Não precisamos calcular \beta_3 para concluir que \max\beta_i\ge\beta_2>1.
Conclusão desta etapa: para a ordem dada das equações, o critério de Sassenfeld NÃO é satisfeito (porque \beta_2=\tfrac{28}{3}>1). Portanto, com a ordem original não temos garantia de convergência do Gauss–Seidel pelo critério de Sassenfeld.

Passo 4

Resposta ao item (b) — o procedimento para tentar tornar o processo convergente.
Explicação didática e prática: o critério de Sassenfeld depende da ordem das variáveis/linhas. Uma técnica comum é permutar (reordenar) as variáveis (ou as equações) para tentar obter uma matriz com pivôs (elementos diagonais) maiores em módulo, o que frequentemente reduz as [\beta_i). Outra alternativa é aplicar escalonamento/normalização das linhas ou usar métodos de relaxação (SOR) — mas a ação mais simples e usual em provas é tentar uma permutação que torne o sistema (por exemplo) diagonalmente dominante por linhas ou que satisfaça Sassenfeld.
Vou tentar uma permutação simples: trocar as variáveis x_2 e x_3. Definimos novas incógnitas
y_1=x_1,\qquad y_2=x_3,\qquad y_3=x_2.
Isso corresponde a trocar as colunas 2 e 3 da matriz (e reorganizar mentalmente o vetor incógnita). A RHS b permanece a mesma. Substituindo na forma das equações obtemos o sistema em y:
\begin{cases} 6y_{1} + 1y_{2} -3y_{3} = 11,\\[4pt] 2y_{1} -8y_{2} +1y_{3} = -15,\\[4pt] 1y_{1} +1y_{2} -7y_{3} = 10. \end{cases}
Note que comparei com a matriz após trocar colunas 2\] e \(3: a nova diagonal em módulo é |6|,|{-8}|,|{-7}|=(6,8,7), que são maiores do que antes para as linhas 2 e 3, então a chance de satisfazer Sassenfeld é boa.
Agora aplico o critério de Sassenfeld a este sistema reordenado.]

Passo 5

Cálculo das \beta para o sistema permutado (variáveis (y_1,y_2,y_3)=(x_1,x_3,x_2)).
Coeficientes em módulo relevantes:
|a_{11}|=6,\;|a_{12}|=1,\;|a_{13}|=3,
|a_{21}|=2,\;|a_{22}|=8,\;|a_{23}|=1,
|a_{31}|=1,\;|a_{32}|=1,\;|a_{33}|=7.
Calculemos \beta:
\beta_1=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|}=\frac{1+3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667.
\beta_2=\frac{|a_{21}|\beta_1 + |a_{23}|}{|a_{22}|} =\frac{2\cdot\frac{2}{3} + 1}{8}=\frac{\frac{4}{3}+1}{8}=\frac{\frac{7}{3}}{8}=\frac{7}{24}\approx0{,}2917.
\beta_3=\frac{|a_{31}|\beta_1 + |a_{32}|\beta_2}{|a_{33}|} =\frac{1\cdot\frac{2}{3} + 1\cdot\frac{7}{24}}{7} =\frac{\frac{16}{24}+\frac{7}{24}}{7} =\frac{\frac{23}{24}}{7}=\frac{23}{168}\approx0{,}1369.
Agora \max(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\beta_1=\tfrac{2}{3}<1. Portanto, para a permutação x_2\leftrightarrow x_3 (isto é, trabalhando com incógnitas y_1=x_1,y_2=x_3,y_3=x_2), o critério de Sassenfeld é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge (garantido) a partir de qualquer chute inicial. Isso responde (b): permutar as incógnitas (trocar x_2 e x_3) é um procedimento que torna o processo convergente.

Passo 6

Agora vou aplicar o método de Gauss–Seidel ao sistema permutado. Primeiro escrevo explicitamente as fórmulas de atualização (isso é útil para a prova):
Sistema permutado em y\): \[\begin{cases} 6y_{1} + 1y_{2} -3y_{3} = 11,\\[4pt] 2y_{1} -8y_{2} +1y_{3} = -15,\\[4pt] 1y_{1} +1y_{2} -7y_{3} = 10. \end{cases}
Isolando cada variável diagonalmente para aplicar Gauss–Seidel:
y_{1}=\frac{11 - y_{2} + 3y_{3}}{6},
y_{2}=\frac{-15 - 2y_{1} - y_{3}}{-8}=\frac{15 + 2y_{1} + y_{3}}{8},
y_{3}=\frac{y_{1} + y_{2} - 10}{7}.
Regra do Gauss–Seidel: ao calcular iteração k+1\] usamos já os valores atualizados para componentes anteriores na mesma iteração. Começamos com \(y^{(0)}=(0,0,0)^T. Vou executar 10 iterações e mostrar os valores obtidos em cada iteração. Sempre que possível uso frações exatas nas primeiras iterações e depois decimais com boa precisão.]

Passo 7

Execução das iterações (cada linha é a iteração k e y^{(k)}=(y_1^{(k)},y_2^{(k)},y_3^{(k)})).
Iteração 1 (usando y^{(0)}=(0,0,0)):
y_1^{(1)}=\frac{11-0+3\cdot0}{6}=\frac{11}{6}\approx1{,}8333333333,
y_2^{(1)}=\frac{15+2\cdot\frac{11}{6}+0}{8}=\frac{56}{24}=\frac{7}{3}\approx2{,}3333333333,
y_3^{(1)}=\frac{\frac{11}{6}+\frac{7}{3}-10}{7}=\frac{-35/6}{7}=-\frac{5}{6}\approx-0{,}8333333333.
Portanto y^{(1)}\approx(1{,}8333333333,\;2{,}3333333333,\;-0{,}8333333333).
Iteração 2:
y_1^{(2)}=\frac{11-\frac{7}{3}+3\cdot(-\frac{5}{6})}{6}=\frac{37}{36}\approx1{,}0277777778,
y_2^{(2)}=\frac{15+2\cdot\frac{37}{36}+(-\frac{5}{6})}{8}=\frac{73}{36}\approx2{,}0277777778,
y_3^{(2)}=\frac{\frac{37}{36}+\frac{73}{36}-10}{7}=-\frac{125}{126}\approx-0{,}9920634921.
Portanto y^{(2)}\approx(1{,}0277777778,\;2{,}0277777778,\;-0{,}9920634921).
Iteração 3:
y_1^{(3)}=\frac{11-y_2^{(2)}+3y_3^{(2)}}{6}=\frac{1511}{1512}\approx0{,}9993386239,
y_2^{(3)}=\frac{15+2y_1^{(3)}+y_3^{(2)}}{8}\approx2{,}0008267195,
y_3^{(3)}=\frac{y_1^{(3)}+y_2^{(3)}-10}{7}\approx-0{,}9999763795.
Portanto y^{(3)}\approx(0{,}9993386239,\;2{,}0008267195,\;-0{,}9999763795).
Iteração 4:
y^{(4)}\approx(0{,}9998740237,\;1{,}9999714585,\;-1{,}0000220740).
Iteração 5:
y^{(5)}\approx(0{,}9999937199,\;1{,}9999956707,\;-1{,}0000015156).
Iteração 6:
y^{(6)}\approx(0{,}9999999637,\;1{,}9999998015,\;-1{,}0000000335).
Iteração 7:
y^{(7)}\approx(1{,}0000000163,\;1{,}9999999999,\;-0{,}9999999977).
Iteração 8:
y^{(8)}\approx(1{,}0000000012,\;2{,}0000000006,\;-0{,}9999999997).
Iteração 9:
y^{(9)}\approx(1{,}00000000003,\;2{,}00000000004,\;-0{,}99999999999).
Iteração 10:
y^{(10)}\approx(0{,}9999999999983,\;2{,}0000000000385,\;-0{,}9999999999905).
Observação final sobre mapeamento de volta às incógnitas originais: lembrando que definimos y_1=x_1,\;y_2=x_3,\;y_3=x_2. Assim, após 10 iterações obtemos a aproximação para x (na ordem (x_1,x_2,x_3)) como
x^{(10)}=(y_1^{(10)},\,y_3^{(10)},\,y_2^{(10)})\approx(0{,}9999999999983,\;-0{,}9999999999905,\;2{,}0000000000385).
É visível que o método converge rapidamente para a solução exata (1,-1,2).

Resposta

a) O critério de Sassenfeld NÃO é satisfeito para a ordem original ( \beta_2=\tfrac{28}{3}>1); portanto, na ordem dada, o critério não garante convergência.
b) Procedimento: permutar as incógnitas (por exemplo trocar x_2 e x_3) para obter uma nova ordem em que o critério de Sassenfeld seja satisfeito (após trocar x_2 e x_3 obtemos \max\beta_i=\tfrac{2}{3}<1, logo convergência garantida).
c) Aproximação após 10 iterações do Gauss–Seidel (com vetor inicial nulo), mostrada na ordem (x_1,x_2,x_3):
x^{(10)}\approx\begin{bmatrix}0{,}9999999999983\\[3pt]-0{,}9999999999905\\[3pt]2{,}0000000000385\end{bmatrix}.]

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