a) analise a convergência do sistema dado, para uma solução através do método de Gauss-Seidel, pelo critério de Sassenfeld.
b) caso o critério não seja satisfeito, que procedimento pode ser feito para tornar o processo convergente.
c) satisfeito o critério, utilize 10 iterações para determinar uma aproximação para a solução, utilizando o método Gauss-Seidel com vetor inicial \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T}.
Verificar a convergência do método de Gauss–Seidel pelo critério de Sassenfeld para a ordem dada das equações.
Caso o critério não seja satisfeito, dizer qual procedimento pode ser feito para tornar o processo convergente.
Se o critério for satisfeito (após o procedimento se necessário), aplicar 10 iterações do método de Gauss–Seidel com vetor inicial \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{T} e apresentar a aproximação obtida.
Informações relevantes dadas: os coeficientes das equações (acima) e o vetor inicial para as iterações. A resolução começa a partir do próximo passo.]
Passo 2
Vou explicar didaticamente o critério de Sassenfeld (aula rapidinha, mas clara). Seja um sistema A x=b de dimensão n. Definimos números \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n pela regra:
O que isso significa em palavras: ao calcular \beta_i usamos os \beta_j já calculados para j<i (o método “pesa” os coeficientes das colunas anteriores pela influência já estimada) e usamos os valores absolutos das entradas à direita não ponderadas. O critério de Sassenfeld diz: se
\max_{1\le i\le n}\beta_i<1,
então o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial. É uma condição suficiente (garante convergência), não necessária (às vezes converge mesmo sem satisfazer o critério).
Agora vou aplicar isso ao sistema na ordem dada.
Passo 3
Calculo das \beta para a ordem das equações dada (primeira equação é a linha 1, etc). Os coeficientes em módulo que precisamos são:
Observação: já aqui \beta_2>1. Não precisamos calcular \beta_3 para concluir que \max\beta_i\ge\beta_2>1.
Conclusão desta etapa: para a ordem dada das equações, o critério de Sassenfeld NÃO é satisfeito (porque \beta_2=\tfrac{28}{3}>1). Portanto, com a ordem original não temos garantia de convergência do Gauss–Seidel pelo critério de Sassenfeld.
Passo 4
Resposta ao item (b) — o procedimento para tentar tornar o processo convergente.
Explicação didática e prática: o critério de Sassenfeld depende da ordem das variáveis/linhas. Uma técnica comum é permutar (reordenar) as variáveis (ou as equações) para tentar obter uma matriz com pivôs (elementos diagonais) maiores em módulo, o que frequentemente reduz as [\beta_i). Outra alternativa é aplicar escalonamento/normalização das linhas ou usar métodos de relaxação (SOR) — mas a ação mais simples e usual em provas é tentar uma permutação que torne o sistema (por exemplo) diagonalmente dominante por linhas ou que satisfaça Sassenfeld.
Vou tentar uma permutação simples: trocar as variáveis x_2 e x_3. Definimos novas incógnitas
y_1=x_1,\qquad y_2=x_3,\qquad y_3=x_2.
Isso corresponde a trocar as colunas 2 e 3 da matriz (e reorganizar mentalmente o vetor incógnita). A RHS b permanece a mesma. Substituindo na forma das equações obtemos o sistema em y:
Note que comparei com a matriz após trocar colunas 2\] e \(3: a nova diagonal em módulo é |6|,|{-8}|,|{-7}|=(6,8,7), que são maiores do que antes para as linhas 2 e 3, então a chance de satisfazer Sassenfeld é boa.
Agora aplico o critério de Sassenfeld a este sistema reordenado.]
Passo 5
Cálculo das \beta para o sistema permutado (variáveis (y_1,y_2,y_3)=(x_1,x_3,x_2)).
Agora \max(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\beta_1=\tfrac{2}{3}<1. Portanto, para a permutação x_2\leftrightarrow x_3 (isto é, trabalhando com incógnitas y_1=x_1,y_2=x_3,y_3=x_2), o critério de Sassenfeld é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge (garantido) a partir de qualquer chute inicial. Isso responde (b): permutar as incógnitas (trocar x_2 e x_3) é um procedimento que torna o processo convergente.
Passo 6
Agora vou aplicar o método de Gauss–Seidel ao sistema permutado. Primeiro escrevo explicitamente as fórmulas de atualização (isso é útil para a prova):
Regra do Gauss–Seidel: ao calcular iteração k+1\] usamos já os valores atualizados para componentes anteriores na mesma iteração. Começamos com \(y^{(0)}=(0,0,0)^T. Vou executar 10 iterações e mostrar os valores obtidos em cada iteração. Sempre que possível uso frações exatas nas primeiras iterações e depois decimais com boa precisão.]
Passo 7
Execução das iterações (cada linha é a iteração k e y^{(k)}=(y_1^{(k)},y_2^{(k)},y_3^{(k)})).
Observação final sobre mapeamento de volta às incógnitas originais: lembrando que definimos y_1=x_1,\;y_2=x_3,\;y_3=x_2. Assim, após 10 iterações obtemos a aproximação para x (na ordem (x_1,x_2,x_3)) como
É visível que o método converge rapidamente para a solução exata (1,-1,2).
Resposta
a) O critério de Sassenfeld NÃO é satisfeito para a ordem original (\beta_2=\tfrac{28}{3}>1); portanto, na ordem dada, o critério não garante convergência.
b) Procedimento: permutar as incógnitas (por exemplo trocar x_2 e x_3) para obter uma nova ordem em que o critério de Sassenfeld seja satisfeito (após trocar x_2 e x_3 obtemos \max\beta_i=\tfrac{2}{3}<1, logo convergência garantida).
c) Aproximação após 10 iterações do Gauss–Seidel (com vetor inicial nulo), mostrada na ordem (x_1,x_2,x_3):