O enunciado dá o sistema linear e pede que o resolvamos pelos Métodos de Jacobi e de Seidel, com vetor inicial e tolerância dadas. Lista das informações relevantes:
A partir daqui as iterações continuaram. Vou listar as iterações x^{(k)} e o valor de \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty até convergência (arredondando a 12 casas decimais para leitura):
Na iteração k=23 a diferença máxima entre x^{(23)} e x^{(22)} ficou menor que \varepsilon=10^{-3}. Portanto o Método de Jacobi converge (aqui) e a iteração final utilizada é x^{(23)}.]
Passo 4
Resultado final do Método de Jacobi (critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-3}):
Observação: estes valores aproximam muito bem (1,2,3,4)^\top (verifique substituindo na equação — é a solução exata).]
Passo 5
Método de Gauss–Seidel (Seidel): ideia e fórmula. No Gauss–Seidel, ao computarmos os componentes de x^{(k+1)} na mesma passagem, usamos imediatamente os componentes já atualizados. Formalmente,
Ambas as soluções aproximadas estão muito próximas da solução exata (1,2,3,4)^\top. De fato substituindo (1,2,3,4)^\top no sistema verifica-se que é a solução exata.
Precisões obtidas com a tolerância pedida:
Jacobi (23 iterações) deu x_{\text{Jacobi}}\approx(0{,}9996725,\;2{,}0002729,\;2{,}9997113,\;4{,}0002956)^\top.
Seidel (6 iterações) deu x_{\text{Seidel}}\approx(1{,}0001197,\;2{,}0000688,\;3{,}0002646,\;3{,}9998661)^\top.
Conclusão prática: o Método de Seidel convergiu muito mais rápido (6 iterações) do que o de Jacobi (23 iterações) para a mesma tolerância \varepsilon=10^{-3}. As soluções finais de ambos são muito próximas (erro de ordem 10^{-4} a 10^{-3}), ambas aproximam bem a solução exata (1,2,3,4)^\top.
Comparação: ambos aproximam a solução exata \,(1,2,3,4)^\top, mas Seidel convergiu muito mais rápido que Jacobi (6 vs 23 iterações para a mesma tolerância).]