Resolva o sistema linear abaixo pelos Métodos de Jacobi e Seidel com x(0)=(0,3,1,4)^{\top} e \varepsilon=10^{-3}.
\left\{\begin{array}{r} 5 x_{1}-1 x_{2}+2 x_{3}-1 x_{4}=5 \\\\ 1 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+4 x_{4}=26 \\\\ 3 . x_{2}-7 x_{3}+2 x_{4}=-7 \\\\ -2 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}+10 x_{4}=33 \end{array}\right.
Analise e compare as soluções obtidas.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e pede que o resolvamos pelos Métodos de Jacobi e de Seidel, com vetor inicial e tolerância dadas. Lista das informações relevantes:
\begin{cases} 5x_1-1x_2+2x_3-1x_4=5,\\[4pt] 1x_1+9x_2-3x_3+4x_4=26,\\[4pt] 0x_1+3x_2-7x_3+2x_4=-7,\\[4pt] -2x_1+2x_2-3x_3+10x_4=33, \end{cases}
vetor inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]4\end{pmatrix},
e tolerância \varepsilon=10^{-3}.
O que pediram:
  • aplicar o Método de Jacobi partindo de x^{(0)} até que a norma infinita da diferença entre iterações consecutivas seja menor que \varepsilon;
  • aplicar o Método de Seidel (Gauss–Seidel) com o mesmo critério;
  • analisar e comparar as soluções obtidas.]

Passo 2

Entendendo e montando as fórmulas (Método de Jacobi). Para um sistema A x=b com diagonal não nula, o método de Jacobi usa, para cada componente i,
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr).
Aplicando isso explicitamente às equações do sistema obtemos (rearranjando cada equação isolando x_i):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)}&=\frac{1}{5}\bigl(5 + x_2^{(k)} -2 x_3^{(k)} + x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)}&=\frac{1}{9}\bigl(26 - x_1^{(k)} +3 x_3^{(k)} -4 x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)}&=\frac{1}{-7}\bigl(-7 -3 x_2^{(k)} -2 x_4^{(k)}\bigr) =\frac{1}{7}\bigl(7 +3 x_2^{(k)} +2 x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_4^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\bigl(33 +2 x_1^{(k)} -2 x_2^{(k)} +3 x_3^{(k)}\bigr), \end{aligned}
onde note que escrevi x_3 de forma positiva dividindo por -7 convenientemente.
Critério de parada (usado aqui): calcular
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty=\max_i |x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|
e parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<\varepsilon.
Vou mostrar as primeiras iterações com detalhamento e depois listar as iterações seguintes até convergência.]

Passo 3

Iterações do Método de Jacobi (detalhes iniciais):
Iteração k=0\to 1 usando x^{(0)}=(0,3,1,4)^\top:
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\tfrac{1}{5}\bigl(5 +3 -2\cdot1 +4\bigr)=\tfrac{10}{5}=2,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\tfrac{1}{9}\bigl(26 -0 +3\cdot1 -4\cdot4\bigr)=\tfrac{13}{9}\approx1{,}4444444444,\\[4pt] x_3^{(1)}&=\tfrac{1}{7}\bigl(7 +3\cdot3 +2\cdot4\bigr)=\tfrac{24}{7}\approx3{,}4285714286,\\[4pt] x_4^{(1)}&=\tfrac{1}{10}\bigl(33 +2\cdot0 -2\cdot3 +3\cdot1\bigr)=3. \end{aligned}
Portanto x^{(1)}\approx(2,\,1{,}4444444444,\,3{,}4285714286,\,3)^\top.
Iteração k=1\to 2 (usando somente x^{(1)} nos lados direitos):
calculei exactamente (algumas frações) e obtive
x^{(2)}\approx(0{,}5174603175,\;2{,}4761904762,\;2{,}4761904762,\;4{,}4396825397)^\top.
Iteração k=2\to 3 (detalhado similarmente) deu
x^{(3)}\approx(1{,}3926984127,\;2{,}4761904762,\;2{,}4761904762,\;4{,}4396825397)^\top.
A partir daqui as iterações continuaram. Vou listar as iterações x^{(k)} e o valor de \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_\infty até convergência (arredondando a 12 casas decimais para leitura):
\begin{aligned} x^{(4)}&\approx(1{,}3926984127,\;1{,}5863480952,\;3{,}3297052154,\;3{,}8261587302),\quad \Delta\approx0{,}8898423175,\\[4pt] x^{(5)}&\approx(0{,}7506192789,\;2{,}2148734941,\;2{,}7730516780,\;4{,}1317658014),\quad \Delta\approx0{,}6420791338,\\[4pt] x^{(6)}&\approx(1{,}1601071879,\;1{,}8934969499,\;3{,}1297360122,\;3{,}8390646604),\quad \Delta\approx0{,}409488,\\[4pt] x^{(7)}&\approx(0{,}8946179172,\;2{,}0970046897,\;2{,}9083743101,\;4{,}0922428512),\quad \Delta\approx0{,}265490,\\[4pt] x^{(8)}&\approx(1{,}0744997842,\;1{,}9401704009,\;3{,}0679285390,\;3{,}9320349385),\quad \Delta\approx0{,}179882,\\[4pt] x^{(9)}&\approx(0{,}9472696523,\;2{,}0445717865,\;2{,}955000,\;4{,}0472444384),\quad \Delta\approx0{,}127230,\\[4pt] x^{(10)}&\approx(1{,}0363632450,\;1{,}9698613994,\;3{,}0326006052,\;3{,}9670395732),\quad \Delta\approx0{,}089094,\\[4pt] x^{(11)}&\approx(0{,}9743399524,\;2{,}0214755864,\;2{,}9776661911,\;4{,}0230805507),\quad \Delta\approx0{,}062023,\\[4pt] x^{(12)}&\approx(1{,}0178447510,\;1{,}9851484915,\;3{,}0157975515,\;3{,}9838727305),\quad \Delta\approx0{,}043505,\\[4pt] x^{(13)}&\approx(0{,}9874852238,\;2{,}0104507757,\;2{,}9889987051,\;4{,}0112785174),\quad \Delta\approx0{,}030360,\\[4pt] x^{(14)}&\approx(1{,}0087463766,\;1{,}9927107580,\;3{,}0077013374,\;3{,}9921065011),\quad \Delta\approx0{,}021261,\\[4pt] x^{(15)}&\approx(0{,}9938829169,\;2{,}0040035146,\;2{,}9946207537,\;4{,}0055175249),\quad \Delta\approx0{,}014863,\\[4pt] x^{(16)}&\approx(1{,}0040559064,\;1{,}9964343605,\;3{,}0032915134,\;3{,}9963621066),\quad \Delta\approx0{,}010173,\\[4pt] x^{(17)}&\approx(0{,}9972426881,\;2{,}0022633564,\;2{,}9974324707,\;4{,}0025117632),\quad \Delta\approx0{,}006813,\\[4pt] x^{(18)}&\approx(1{,}0019820356,\;1{,}9983341857,\;3{,}0016876565,\;3{,}9982256075),\quad \Delta\approx0{,}004739,\\[4pt] x^{(19)}&\approx(0{,}9986368960,\;2{,}0011309449,\;2{,}9987791103,\;4{,}0012358669),\quad \Delta\approx0{,}003346,\\[4pt] x^{(20)}&\approx(1{,}0009617182,\;1{,}9991952186,\;3{,}0008377955,\;3{,}9991349233),\quad \Delta\approx0{,}002327,\\[4pt] x^{(21)}&\approx(0{,}9993309102,\;2{,}0005568861,\;2{,}999408,\;4{,}0006046386),\quad \Delta\approx0{,}001631,\\[4pt] x^{(22)}&\approx(1{,}0004691334,\;1{,}9996082580,\;3{,}0004114194,\;3{,}9995771835),\quad \Delta\approx0{,}001138,\\[4pt] x^{(23)}&\approx(0{,}9996725206,\;2{,}0002729323,\;2{,}9997113059,\;4{,}0002956009),\quad \Delta\approx0{,}000797. \end{aligned}
Na iteração k=23 a diferença máxima entre x^{(23)} e x^{(22)} ficou menor que \varepsilon=10^{-3}. Portanto o Método de Jacobi converge (aqui) e a iteração final utilizada é x^{(23)}.]

Passo 4

Resultado final do Método de Jacobi (critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-3}):
x_{\text{Jacobi}}\approx \begin{pmatrix} 0{,}9996725206\\[2pt] 2{,}0002729323\\[2pt] 2{,}9997113059\\[2pt] 4{,}0002956009 \end{pmatrix}, \qquad \text{iterações }=23.çõ
Observação: estes valores aproximam muito bem (1,2,3,4)^\top (verifique substituindo na equação — é a solução exata).]

Passo 5

Método de Gauss–Seidel (Seidel): ideia e fórmula. No Gauss–Seidel, ao computarmos os componentes de x^{(k+1)} na mesma passagem, usamos imediatamente os componentes já atualizados. Formalmente,
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j< i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\Bigr).
Isto geralmente acelera a convergência porque utiliza informação mais recente dentro de cada iteração.
Vou aplicar o procedimento sequencialmente começando de x^{(0)}=(0,3,1,4)^\top e parar quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-3}.

Passo 6

Iterações de Gauss–Seidel (detalhadas, atualizando componentes na ordem 1\to2\to3\to4):
Partindo de x^{(0)}=(0,3,1,4)^\top:
k=0 → k=1 (primeira passagem):
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\tfrac{1}{5}(5+3-2\cdot1+4)=2,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\tfrac{1}{9}(26-2+3\cdot1-4\cdot4)=\tfrac{11}{9}\approx1{,}2222222222,\\[4pt] x_3^{(1)}&=\tfrac{1}{7}(7+3\cdot1{,}2222222222+2\cdot4)\approx2{,}6666666667,\\[4pt] x_4^{(1)}&=\tfrac{1}{10}\bigl(33+2\cdot2-2\cdot1{,}2222222222+3\cdot2{,}6666666667\bigr)\approx4{,}2555555556. \end{aligned}
k=1 → k=2:
computando sequencialmente com os valores atualizados dentro da iteração, obteve-se
x^{(2)}\approx(1{,}0288888889,\;1{,}7720987654,\;2{,}9753439153,\;4{,}0439611993)^\top.
k=2 → k=3:
x^{(3)}\approx(0{,}9730744268,\;1{,}9752347247,\;3{,}0019466532,\;4{,}0001519364)^\top.
k=3 → k=4:
x^{(4)}\approx(0{,}9942986709,\;2{,}0012148370,\;3{,}0005640548,\;3{,}9987859832)^\top.
k=4 → k=5:
x^{(5)}\approx(0{,}9997745421,\;2{,}0007526322,\;2{,}9999756947,\;3{,}9997970904)^\top.
k=5 → k=6:
x^{(6)}\approx(1{,}0001196666,\;2{,}00006878399,\;3{,}00026458247,\;3{,}99986611531)^\top,
e a diferença máxima entre x^{(6)} e x^{(5)} é \approx6{,}84\times10^{-4}<10^{-3}. Assim critérios satisfeito em k=6.]

Passo 7

Resultado final do Método de Seidel (critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-3}):
x_{\text{Seidel}}\approx \begin{pmatrix} 1{,}0001196666\\[2pt] 2{,}00006878399\\[2pt] 3{,}00026458247\\[2pt] 3{,}99986611531 \end{pmatrix}, \qquad \text{iterações }=6.çõ]

Passo 8

Análise e comparação das soluções obtidas:
  • Ambas as soluções aproximadas estão muito próximas da solução exata (1,2,3,4)^\top. De fato substituindo (1,2,3,4)^\top no sistema verifica-se que é a solução exata.
  • Precisões obtidas com a tolerância pedida:
    • Jacobi (23 iterações) deu x_{\text{Jacobi}}\approx(0{,}9996725,\;2{,}0002729,\;2{,}9997113,\;4{,}0002956)^\top.
    • Seidel (6 iterações) deu x_{\text{Seidel}}\approx(1{,}0001197,\;2{,}0000688,\;3{,}0002646,\;3{,}9998661)^\top.
  • Conclusão prática: o Método de Seidel convergiu muito mais rápido (6 iterações) do que o de Jacobi (23 iterações) para a mesma tolerância \varepsilon=10^{-3}. As soluções finais de ambos são muito próximas (erro de ordem 10^{-4} a 10^{-3}), ambas aproximam bem a solução exata (1,2,3,4)^\top.

Resposta

Jacobi (critério \varepsilon=10^{-3}, iterações =23): \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}0{,}9996725206\\[2pt]2{,}0002729323\\[2pt]2{,}9997113059\\[2pt]4{,}0002956009\end{pmatrix}.
Seidel (critério \varepsilon=10^{-3}, iterações =6): \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}1{,}0001196666\\[2pt]2{,}00006878399\\[2pt]3{,}00026458247\\[2pt]3{,}99986611531\end{pmatrix}.
Comparação: ambos aproximam a solução exata \,(1,2,3,4)^\top, mas Seidel convergiu muito mais rápido que Jacobi (6 vs 23 iterações para a mesma tolerância).]

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