a) (1.5 ponto) determinar uma base e a dimensão do espaço-nulo deste sistema.
b) ( 0.5 ponto) explicite o seu raciocínio na resolução do item anterior.
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache o espaço-nulo (ou núcleo) do sistema homogêneo
x+2y-4z+3t=0, x+2y-2z+2t=0, 2x+4y-2z+3t=0,
ou seja, o conjunto de vetores (x,y,z,t) que satisfazem essas três equações. Para isso vamos usar eliminação de Gauss para escalonar o sistema, identificar as variáveis livres e dependentes, escrever a solução geral e extrair uma base e a dimensão.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes e aplicamos operações de linha:
Da expressão paramétrica vemos que dois vetores geram todo o núcleo:
v1 = (-2,1,0,0), v2 = (-2,0,1,2)
Portanto uma base do espaço-nulo é v1,,v2 e a dimensão é 2.
Resposta
(a) Uma base do espaço-nulo é (-2,1,0,0),,(-2,0,1,2) e sua dimensão é 2.
(b) O raciocínio usou eliminação de Gauss para escalonar a matriz, identificar que y e t são livres, expressar x e t em função de y,z, obter a solução geral e então extrair os vetores que formam a base.