Seja o sistema homogêneo:
x+2 y-4 z+3 t & =0 x+2 y-2 z+2 t & =0 2 x+4 y-2 z+3 t & =0
a) (1.5 ponto) determinar uma base e a dimensão do espaço-nulo deste sistema.
b) ( 0.5 ponto) explicite o seu raciocínio na resolução do item anterior.

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache o espaço-nulo (ou núcleo) do sistema homogêneo
x+2y-4z+3t=0, x+2y-2z+2t=0, 2x+4y-2z+3t=0,
ou seja, o conjunto de vetores (x,y,z,t) que satisfazem essas três equações. Para isso vamos usar eliminação de Gauss para escalonar o sistema, identificar as variáveis livres e dependentes, escrever a solução geral e extrair uma base e a dimensão.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes e aplicamos operações de linha:
1 & 2 & -4 & 3 1 & 2 & -2 & 2 2 & 4 & -2 & 3 longrightarrow 1 & 2 & -4 & 3 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 6 & -3
em que fizemos
L2>=tsL2-L1 e L3>=tsL3-2,L1.
Depois L3>=tsL3-3,L2 para zerar a terceira linha.

Passo 3

Da forma escalonada vemos pivôs nas colunas 1 e 3, logo x e z são variáveis dependentes, enquanto y e t são livres. A equação da segunda linha diz
2z - t = 0Longrightarrow t = 2z

Passo 4

Na primeira linha temos
x + 2y -4z +3t = 0 Longrightarrow x = -2y +4z -3t
Substituindo t=2z x=-2y+4z-6z=-2y-2z.
Logo a solução geral é
(x,y,z,t) = (-2y-2z,;y,;z,;2z) = y,(-2,1,0,0) ;+; z,(-2,0,1,2)

Passo 5

Da expressão paramétrica vemos que dois vetores geram todo o núcleo:
v1 = (-2,1,0,0), v2 = (-2,0,1,2)
Portanto uma base do espaço-nulo é v1,,v2 e a dimensão é 2.

Resposta

(a) Uma base do espaço-nulo é (-2,1,0,0),,(-2,0,1,2) e sua dimensão é 2.
(b) O raciocínio usou eliminação de Gauss para escalonar a matriz, identificar que y e t são livres, expressar x e t em função de y,z, obter a solução geral e então extrair os vetores que formam a base.

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