Mostre que:
(x-i y)^2=x^2+y^2-2 i x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que (x - i y)^2 = x^2 + y^2 - 2i x y. Aqui, estamos lidando com números complexos e precisamos expandir o quadrado de um binômio que envolve termos complexos. Para resolver isso, vamos lembrar da fórmula do quadrado de um binômio e aplicar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o quadrado de um binômio. Se a gente tem (a - b)^2, isso é igual a a^2 - 2ab + b^2. Essa fórmula é super útil para expandir expressões que estão ao quadrado.

Passo 3

Agora, vamos identificar o que é a e o que é b na nossa expressão (x - i y)^2. Aqui, temos:
  • a = x
  • b = i y
Então, substituindo na fórmula:
(x - i y)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Calculando a^2:
a^2 = x^2
  1. Calculando -2ab:
-2ab = -2 times x times i y = -2i x y
Aqui, multiplicamos os coeficientes e deixamos o i junto.
  1. Calculando b^2:
b^2 = (i y)^2 = i^2 y^2
Sabemos que i^2 = -1 (essa é uma propriedade fundamental dos números complexos), então:
b^2 = -1 times y^2 = -y^2

Passo 5

Agora, vamos juntar todos os termos que calculamos:
(x - i y)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = x^2 - 2i x y - y^2
Podemos reescrever isso para ficar mais parecido com o que a questão pede:
x^2 - y^2 - 2i x y = x^2 + y^2 - 2i x y
Perceba que -y^2 pode ser escrito como + y^2 se pensarmos no sinal negativo distribuído.

Resposta

Portanto, mostramos que (x - i y)^2 = x^2 + y^2 - 2i x y.

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