Determinar a solução do sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear abaixo (já organizado em forma matricial) e pede a solução usando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
O que se pede: encontrar x_{1},x_{2},x_{3} aplicando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (ou seja, em cada coluna pivô escolhemos, entre as linhas disponíveis, a entrada de maior valor absoluto e, se necessário, permutamos linhas).]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada inicial e aplicar pivoteamento parcial na primeira coluna. A matriz aumentada é
Para pivoteamento parcial na primeira coluna, comparamos os valores absolutos das entradas embaixo (e incluindo) a linha 1: |-1|=1,\;|1|=1,\;|-4|=4. O maior em valor absoluto é -4 na linha 3, então trocamos R_1 com R_3.]
Passo 3
Após permutar R_1\leftrightarrow R_3 (troca de linhas), a matriz aumentada fica
Explicando o porquê: a troca garante que o pivô na primeira etapa seja o maior em módulo, o que reduz erros numéricos e evita divisão por valores muito pequenos (no papel ajuda a organizar cálculos).]
Passo 4
Agora eliminamos as entradas abaixo do pivô -4 na coluna 1. Definimos os multiplicadores
As operações de linha são R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Atenção: quando m_{21}=-\tfrac14, R_2 - m_{21}R_1 = R_2 + \tfrac14 R_1.
Passamos à segunda coluna (submatriz inferior 2×2). Para pivoteamento parcial entre R_2 e R_3 na coluna 2, comparamos \big|\tfrac{13}{4}\big|=\tfrac{13}{4} e \big|\tfrac{7}{4}\big|=\tfrac{7}{4}. O maior é \tfrac{13}{4} (já está em R_2), então não há troca de linhas. O pivô da segunda etapa é a_{22}=\tfrac{13}{4}.
Eliminamos a entrada abaixo do pivô com o multiplicador