Seja o espaço vetorial V=\mathbf{R}^{2}, com as operações
\begin{gathered} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}-1, y_{1}+y_{2}+2\right) \\\ \alpha \cdot(x, y)=(\alpha x-\alpha+1, \alpha y+2 \alpha-2) \end{gathered}
Dessa forma, temos que o elemento neutro, e, e o elemento oposto, -u, são dados por:
Escolha uma apcida:
◯ a. elemento neutro: e=(0,2)
elemento oposto, -u=(-x, 4-y)
◯ b. elemento neutro: e=(2,-3)
elemento oposto, -\boldsymbol{u}=(4-\boldsymbol{x},-6-y)
◯ c. elemento neutro: e=(0,0)
elemento oposto, -u=(-x,-y)
◯ d. elemento neutro: e=(1,-2)
elemento oposto, -u=(2-x,-4-y)
◯ e. elemento neutro: e=(2,0)
elemento oposto, -\boldsymbol{u}=(4-\boldsymbol{x},-y)

Passo 1

O enunciado fornece o espaço V=\mathbf{R}^{2} com as operações (peguei isso do enunciado):
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2}-1,\;y_{1}+y_{2}+2)
\alpha\cdot(x,y)=(\alpha x-\alpha+1,\;\alpha y+2\alpha-2)
O que se pede:
  • Determinar o elemento neutro aditivo e (isto é, o elemento que somado a qualquer vetor não altera esse vetor).
  • Determinar o oposto (inverso aditivo) -u de um vetor genérico u=(x,y).

Passo 2

Relembrando o conceito que vamos usar (aula rápida): o elemento neutro aditivo e é um vetor tal que, para todo u=(x,y),
u+e=u.
Isso significa que se escrevemos e=(a,b) com incógnitas a e b, ao aplicar a regra de adição do enunciado devemos obter exatamente (x,y). Vamos montar essa equação.

Passo 3

Aplicando a definição da soma com u=(x,y) e e=(a,b):
u+e=(x+a-1,\;y+b+2).
Pelo requisito u+e=u temos a igualdade de pares para todo x,y:
(x+a-1,\;y+b+2)=(x,y).
Igualando componente a componente obtemos duas equações:
x+a-1=x, \qquad y+b+2=y.
Isolando a e b:
a-1=0\quad\Rightarrow\quad a=1,
b+2=0\quad\Rightarrow\quad b=-2.
Portanto o elemento neutro é
e=(1,-2).

Passo 4

Agora o oposto aditivo. Definição: dado u=(x,y), o oposto -u é um vetor v tal que
u+v=e,
onde e é o neutro que já encontramos. Escrevendo v=(p,q) e usando a lei da soma:
u+v=(x+p-1,\;y+q+2).
Impondo u+v=e=(1,-2) obtemos
(x+p-1,\;y+q+2)=(1,-2).
Igualando componentes e resolvendo para p,q:
x+p-1=1\quad\Rightarrow\quad p=2-x,
y+q+2=-2\quad\Rightarrow\quad q=-4-y.
Assim o oposto de u=(x,y) é
-u=(2-x,\,-4-y).

Passo 5

Cheque rápido (verificação): calcule u+(-u) usando as fórmulas:
u+(-u)=(x+(2-x)-1,\;y+(-4-y)+2)=(1,\,-2)=e,
confirmando que a expressão encontrada para -u está correta.

Resposta

d. e=(1,-2)
-u=(2-x,\,-4-y)

Exercícios relacionados