Seja um sistema linear governado pelos problemas de valor inicial a segui. Encontre a função de transferencia
para o sistema e a função de resposta ao impulso
. Em seguida, dĂȘ uma fĂłrmula para a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
Temos o PVI
com condições iniciais
y(0)=0 e y’(0)=2. O conteúdo é transformada de Laplace aplicada a sistemas LTI para obter função de transferência, resposta ao impulso e fórmula de solução em termos de convolução.
y(0)=0 e y’(0)=2. O conteúdo é transformada de Laplace aplicada a sistemas LTI para obter função de transferência, resposta ao impulso e fórmula de solução em termos de convolução.
Passo 2
Para achar a função de transferência H(s), aplicamos a transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas. Fazendo
e
obtemos
Logo, por definição,
Passo 3
Para encontrar a resposta ao impulso h(t), fazemos a transformada inversa de
Usando a forma padrão
vemos que nosso numerador é 1, isto é, metade de 2. Logo
Passo 4
Para montar a solução geral do PVI, somamos a parte livre (homogênea) com a parte forçada (convolução). Primeiro, resolvemos a homogênea
A equação característica é
Logo a solução homogênea é
Usando y(0)=0 dá A=0, e y’(0)=2 dá B=1, resultando
Passo 5
Finalmente, como o sistema é LTI, a solução completa é
Resposta
H(s) = \frac{1}{s^2 - 2s + 5},
h(t) = \tfrac12,e^t\sin(2t),
e a solução do PVI é
y(t) = e^t\sin(2t) + \int_{0}^{t} \tfrac12,e^{(t-\tau)}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr),g(\tau),d\tau.