Seja um sistema linear governado pelos problemas de valor inicial a segui. Encontre a função de transferencia H(s) para o sistema e a função de resposta ao impulso h(t). Em seguida, dĂȘ uma fĂłrmula para a solução do problema de valor inicial.
ly^prime prime-2 y^prime+5 y=g(t) ; y(0)=0 ; y^prime(0)=2

Passo 1

Temos o PVI
y'' - 2y' + 5y = g(t),
com condições iniciais
y(0)=0 e y’(0)=2. O conteúdo é transformada de Laplace aplicada a sistemas LTI para obter função de transferência, resposta ao impulso e fórmula de solução em termos de convolução.

Passo 2

Para achar a função de transferência H(s), aplicamos a transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas. Fazendo
Ly'' = s^2 Y(s),
Ly' = s Y(s),
Ly = Y(s),
e
Lg(t) = G(s),
obtemos
(s^2 - 2s + 5)Y(s) = G(s)
Logo, por definição,
H(s) = Y(s)G(s) = 1s^2 - 2s + 5

Passo 3

Para encontrar a resposta ao impulso h(t), fazemos a transformada inversa de
H(s) = 1s^2 - 2s + 5 = 1(s-1)^2 + 2^2
Usando a forma padrão
L^-12(s-1)^2 + 2^2 = e^tsin(2t),
vemos que nosso numerador é 1, isto é, metade de 2. Logo
h(t) = tfrac12,e^tsin(2t), t>=0

Passo 4

Para montar a solução geral do PVI, somamos a parte livre (homogênea) com a parte forçada (convolução). Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' - 2y' + 5y = 0
A equação característica é
m^2 - 2m + 5 = 0implies m = 1 pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh(t) = e^tl(Acos(2t) + Bsin(2t)r)
Usando y(0)=0 dá A=0, e y’(0)=2 dá B=1, resultando
yh(t) = e^tsin(2t)

Passo 5

Finalmente, como o sistema é LTI, a solução completa é
y(t) = yh(t) + (h * g)(t) = e^tsin(2t) + integral0^t tfrac12,e^(t-tau)sinl(2(t-tau)r),g(tau),dtau

Resposta

H(s) = \frac{1}{s^2 - 2s + 5},
h(t) = \tfrac12,e^t\sin(2t),
e a solução do PVI é
y(t) = e^t\sin(2t) + \int_{0}^{t} \tfrac12,e^{(t-\tau)}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr),g(\tau),d\tau.

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