Temos a transformação dada por e . O conteúdo é mudança de variáveis bidimensional e precisamos usar as noções de injetividade de transformações dadas por fórmulas algébricas, esboçar curvas no plano e aplicar a fórmula da mudança de variáveis usando o jacobiano.
Passo 2
Para mostrar que é um-para-um, notamos que equivale a . Se , então . Como , não pode ser o sinal negativo, logo e . Assim, é injetora e, restringida ao retângulo, torna-se bijetora com sua imagem.
Passo 3
Para esboçar , observamos as curvas de fronteira:
: , .
: , .
: , .
: , .
Ligando essas quatro curvas no plano obtemos a região .
Passo 4
Calculamos o jacobiano de . Temos:
Então
Pela fórmula da mudança de variáveis, a área de R é
integral duplaRdA=integral dupla[1,2]times[1,3]|J(u,v)|,du,dv=integral dupla1^2!!1^34(u^2+v^2),dv,du