A transformação
T:l x=u^2-v^2, y=2 u v
transforma o retângulo 1 <= u <= 2,1 <= v <= 3 no plano-uv em uma região R do plano- x y.
(a) Mostre que T é um-a-um. (Bijetora)
(b) Esboce R.
© Encontre a área de R através da fórmula da mudança de variáveis.

Passo 1

Temos a transformação T dada por x=u^2-v^2 e y=2uv. O conteúdo é mudança de variáveis bidimensional e precisamos usar as noções de injetividade de transformações dadas por fórmulas algébricas, esboçar curvas no plano xy e aplicar a fórmula da mudança de variáveis usando o jacobiano.

Passo 2

Para mostrar que T é um-para-um, notamos que (x,y)=(u^2-v^2,2uv) equivale a z=x+iy=(u+iv)^2. Se (u1+iv1)^2=(u2+iv2)^2, então u1+iv1=pm(u2+iv2). Como u,v>=1>0, não pode ser o sinal negativo, logo u1=u2 e v1=v2. Assim, T é injetora e, restringida ao retângulo, torna-se bijetora com sua imagem.

Passo 3

Para esboçar R=T(1<= u<=2,;1<= v<=3), observamos as curvas de fronteira:
  • u=1: x=1-v^2,;y=2v, vin[1,3].
  • u=2: x=4-v^2,;y=4v, vin[1,3].
  • v=1: x=u^2-1,;y=2u, uin[1,2].
  • v=3: x=u^2-9,;y=6u, uin[1,2].
    Ligando essas quatro curvas no plano xy obtemos a região R.

Passo 4

Calculamos o jacobiano de T. Temos:
xu=2u, xv=-2v, yu=2v, yv=2u
Então
J(u,v)=detxu & xv yu & yv=2ucdot2u-(-2v)cdot2v=4(u^2+v^2)
Pela fórmula da mudança de variáveis, a área de R é
integral duplaRdA=integral dupla[1,2]times[1,3]|J(u,v)|,du,dv=integral dupla1^2!!1^34(u^2+v^2),dv,du

Passo 5

Agora integramos:
integralu=1^2integralv=1^34(u^2+v^2),dv,du=4integral1^2l[2u^2+v^33r]v=1^3du=4integral1^2l(2u^2+263r)du
Calculando:
4l[2u^33+26u3r]1^2=4l(16-23+52-263r)=4cdot403=1603

Passo 6

A área da região R é tfrac1603.

Resposta

1603

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