Para cada um dos números complexos z abaixo, escreva na forma z=r e^j theta.
z=(-1+j)^4(raiz3-j)^10+1(2 raiz3+2 j)^4,

Passo 1

Resumo do problema: escrever z = (-1+j)^4(raiz3-j)^10 + 1(2raiz3+2j)^4 na forma r e^jtheta. Vamos usar módulo e argumento de números complexos, a forma exponencial re^jtheta e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Calcular o primeiro termo (-1+j)^4(raiz3-j)^10: converter -1+j e raiz3-j para a forma exponencial. Temos |-1+j|=raiz2 e arg(-1+j)=3pi/4, então -1+j=raiz2,e^j3pi/4. Elevando à quarta potência dá (raiz2)^4 e^j3pi = 4 e^j3pi. Para raiz3-j, |raiz3-j|=2 e arg(raiz3-j)=-pi/6, de onde (raiz3-j)^10 = 2^10 e^-j10pi/6 = 1024 e^-j5pi/3. Dividindo, o primeiro termo fica 41024e^j(3pi - (-5pi/3)) = 1256e^j4pi/3.

Passo 3

Calcular o segundo termo 1(2raiz3+2j)^4: fatoramos 2raiz3+2j=2(raiz3+j). Como |raiz3+j|=2 e arg(raiz3+j)=pi/6, temos (2raiz3+2j)^4 = 4^4 e^j4pi/6 = 256 e^j2pi/3. Logo o segundo termo é 1256e^-j2pi/3.

Passo 4

Somar as duas parcelas: z = 1256e^j4pi/3 + 1256e^-j2pi/3. Observando que e^j4pi/3=e^-j2pi/3, as duas parcelas somam 2cdot1256e^j4pi/3=1128e^j4pi/3, que é a forma exponencial final.

Resposta

1128e^j4pi/3

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