a) Considerando esta disposição das linhas e colunas, os critérios das linhas e de Sassenfeld não são satisfeitos (verifique!). Realize as permutações necessárias para que a matriz do sistema equivalente satisfaça pelo menos um dos critérios. Apresente os cálculos e as devidas justificativas.
b) Aplique o método de Jacobi ao sistema equivalente obtido no item (a), visando obter uma aproximação para a solução exata. A partir da solução inicial \mathrm{x}^{(0)}=(0,0,0)^{T}, realize quatro iterações do método. Avalie o erro relativo (usando norma infinita) após a quarta iteração, para verificar a precisão obtida.
c) Faça o mesmo solicitado no item (b), utilizando o método de Gauss-Seidel.
As perguntas são:
(a) Verificar que, na disposição dada, os critérios das linhas e de Sassenfeld NÃO são satisfeitos; então realizar as permutações necessárias (linhas/colunas) para obter um sistema equivalente que satisfaça pelo menos um dos critérios; apresentar cálculos e justificativas.
(b) Aplicar o método de Jacobi ao sistema equivalente do item (a) partindo de \mathrm{x}^{(0)}=(0,0,0)^{T}, efetuar 4 iterações e calcular o erro relativo usando a norma infinito.
(c) Repetir (b) usando Gauss–Seidel.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Matriz dos coeficientes (na ordem x_{1},x_{2},x_{3}) e vetor de termos independentes:
Verificação do critério das linhas (dominância diagonal por linha). Lembre: para linha i o critério de dominância estrita é
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Calcula-se para cada linha:
Linha 1 (coeficientes \,2,1,3): |a_{11}|=|2| e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|1|+|3|=4. Logo
|a_{11}|=2<4=\sum_{j\ne1}|a_{1j}|.
Linha 1 não satisfaz dominância (nem mesmo \ge).
Linha 2 (coeficientes \,0,-1,1): |a_{22}|=|{-1}|=1 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|0|+|1|=1. Logo
|a_{22}|=1=\sum_{j\ne2}|a_{2j}|.
Aqui há igualdade, não dominância estrita (na maioria das formulações precisa-se de estrita para garantia).
Linha 3 (coeficientes \,1,0,3): |a_{33}|=|3| e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|1|+|0|=1. Logo
|a_{33}|=3>1=\sum_{j\ne3}|a_{3j}|.
Linha 3 satisfaz, mas como a linha 1 não satisfaz o critério de linhas (estrito) para toda a matriz, o critério das linhas NÃO é satisfeito para o sistema na disposição dada.
Passo 3
Verificação do critério de Sassenfeld para a ordem dada. Lembre: definir sequencialmente os coeficientes \beta_i por
Se \max_i\beta_i<1 então o método de Gauss–Seidel converge.
Calculando para a ordem original:
\beta_1=\dfrac{|1|+|3|}{|2|}=\dfrac{4}{2}=2>1.
Como \beta_1>1 já está claro que \max\beta_i\ge2>1. Logo, o critério de Sassenfeld NÃO é satisfeito na ordem original.
Conclusão até aqui: tanto o critério das linhas (estrito) quanto o critério de Sassenfeld falham na disposição dada — como pedido no enunciado, verificamos isso.
Passo 4
Plano para (a): vamos procurar permutações (linhas e/ou colunas) que transformem o sistema em um equivalente que satisfaça pelo menos UM dos critérios. Explicação de por que permutar colunas é permitido: permutar colunas equivale a renomear as incógnitas (trocar a ordem das variáveis); isso gera um sistema equivalente cujas soluções são as mesmas, apenas com ordem diferente das componentes. Podemos então aplicar métodos iterativos na nova ordenação e, no final, remapear para x_{1},x_{2},x_{3}.
Vou procurar uma permutação de colunas e uma de linhas que torne o critério de Sassenfeld satisfeito (frequentemente mais fácil de obter do que dominância estrita em todas as linhas). Fiz uma busca por permutações e encontrei uma que funciona: permutar as colunas na ordem (3,2,1) (isto é, y_{1}=x_{3},\,y_{2}=x_{2},\,y_{3}=x_{1}) e permutar as linhas na ordem (3,2,1) (isto é, colocar a equação 3 como primeira, a 2 como segunda e a 1 como terceira). A seguir mostro os detalhes.
Passo 5
Aplicando as permutações encontradas:
Nova ordem das incógnitas: \,y_{1}=x_{3},\;y_{2}=x_{2},\;y_{3}=x_{1}.
Nova ordem das equações: tomar as equações na sequência (origem) 3,2,1.
Peguei os coeficientes das linhas originais e reordenei as colunas conforme (3,2,1) e as linhas conforme (3,2,1). Assim obtemos o sistema equivalente A' y = b' com
Temos \beta_1=\tfrac{1}{3},\;\beta_2=\tfrac{1}{3},\;\beta_3=\tfrac{2}{3}. Logo
\max_i\beta_i=\tfrac{2}{3}<1.
Portanto o critério de Sassenfeld é satisfeito para o sistema permutado A'y=b'. Isso garante a convergência do método de Gauss–Seidel para esse sistema (e é um bom indicativo de que os iterativos funcionarão bem). Assim a permutação escolhida resolve o item (a): encontramos um sistema equivalente que satisfaz Sassenfeld (apresentei os cálculos e a justificativa).
Passo 7
Cálculo exato da solução (para avaliar erros relativos depois). Vou resolver o sistema original por substituição (peguei as equações originais):
Da equação 2: -x_{2}+x_{3}=1 temos \,x_{3}=1+x_{2}.
Da equação 3: x_{1}+3x_{3}=3 temos \,x_{1}=3-3x_{3}.
Substituindo na equação 1:
Cálculo do erro relativo (norma infinito): primeiro a diferença absoluta componente a componente entre a solução exata x=(9,-3,-2)^{T} e x^{(4)}_{\text{Jacobi}}:
A norma infinito do erro absoluto é \|x-x^{(4)}\|_{\infty}=\tfrac{7}{2}. A norma infinito da solução exata é \|x\|_{\infty}=9. Portanto o erro relativo (norma infinito) é
Método de Gauss–Seidel (no mesmo sistema permutado A'y=b'), aplicando a versão sequencial que usa imediatamente os valores mais recentes. Fórmulas (órdem y_{1},y_{2},y_{3}):
(a) Uma permutação que atende ao pedido é: permutar colunas na ordem (3,2,1) (ou seja y_{1}=x_{3},y_{2}=x_{2},y_{3}=x_{1}) e permutar as linhas na ordem (3,2,1). O sistema equivalente é
e para ele os coeficientes de Sassenfeld são \beta_1=\tfrac{1}{3},\;\beta_2=\tfrac{1}{3},\;\beta_3=\tfrac{2}{3} (logo \max\beta_i=\tfrac{2}{3}<1), então o critério de Sassenfeld é satisfeito.
(b) Jacobi: após 4 iterações, aproximação