Seja o sistema linear:
\left\{\begin{array}{r} 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=9 \\\\ -x_{2}+x_{3}=1 \\\ x_{1}+3 x_{3}=3 \end{array}\right.
a) Considerando esta disposição das linhas e colunas, os critérios das linhas e de Sassenfeld não são satisfeitos (verifique!). Realize as permutações necessárias para que a matriz do sistema equivalente satisfaça pelo menos um dos critérios. Apresente os cálculos e as devidas justificativas.
b) Aplique o método de Jacobi ao sistema equivalente obtido no item (a), visando obter uma aproximação para a solução exata. A partir da solução inicial \mathrm{x}^{(0)}=(0,0,0)^{T}, realize quatro iterações do método. Avalie o erro relativo (usando norma infinita) após a quarta iteração, para verificar a precisão obtida.
c) Faça o mesmo solicitado no item (b), utilizando o método de Gauss-Seidel.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{r} 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=9 \\\\ -x_{2}+x_{3}=1 \\\ x_{1}+3 x_{3}=3 \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Verificar que, na disposição dada, os critérios das linhas e de Sassenfeld NÃO são satisfeitos; então realizar as permutações necessárias (linhas/colunas) para obter um sistema equivalente que satisfaça pelo menos um dos critérios; apresentar cálculos e justificativas.
(b) Aplicar o método de Jacobi ao sistema equivalente do item (a) partindo de \mathrm{x}^{(0)}=(0,0,0)^{T}, efetuar 4 iterações e calcular o erro relativo usando a norma infinito.
(c) Repetir (b) usando Gauss–Seidel.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Matriz dos coeficientes (na ordem x_{1},x_{2},x_{3}) e vetor de termos independentes:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[4pt]0 & -1 & 1\\[4pt]1 & 0 & 3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}9\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Verificação do critério das linhas (dominância diagonal por linha). Lembre: para linha i o critério de dominância estrita é
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Calcula-se para cada linha:
Linha 1 (coeficientes \,2,1,3): |a_{11}|=|2| e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|1|+|3|=4. Logo
|a_{11}|=2<4=\sum_{j\ne1}|a_{1j}|.
Linha 1 não satisfaz dominância (nem mesmo \ge).
Linha 2 (coeficientes \,0,-1,1): |a_{22}|=|{-1}|=1 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|0|+|1|=1. Logo
|a_{22}|=1=\sum_{j\ne2}|a_{2j}|.
Aqui há igualdade, não dominância estrita (na maioria das formulações precisa-se de estrita para garantia).
Linha 3 (coeficientes \,1,0,3): |a_{33}|=|3| e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|1|+|0|=1. Logo
|a_{33}|=3>1=\sum_{j\ne3}|a_{3j}|.
Linha 3 satisfaz, mas como a linha 1 não satisfaz o critério de linhas (estrito) para toda a matriz, o critério das linhas NÃO é satisfeito para o sistema na disposição dada.

Passo 3

Verificação do critério de Sassenfeld para a ordem dada. Lembre: definir sequencialmente os coeficientes \beta_i por
\beta_1=\frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\ne1}|a_{1j}|, \qquad \beta_2=\frac{1}{|a_{22}|}\Big(|a_{21}|\beta_1+\sum_{j>2}|a_{2j}|\Big),
e em geral
\beta_i=\frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\beta_j+\sum_{j=i+1}^{n}|a_{ij}|\Big).
Se \max_i\beta_i<1 então o método de Gauss–Seidel converge.
Calculando para a ordem original:
\beta_1=\dfrac{|1|+|3|}{|2|}=\dfrac{4}{2}=2>1.
Como \beta_1>1 já está claro que \max\beta_i\ge2>1. Logo, o critério de Sassenfeld NÃO é satisfeito na ordem original.
Conclusão até aqui: tanto o critério das linhas (estrito) quanto o critério de Sassenfeld falham na disposição dada — como pedido no enunciado, verificamos isso.

Passo 4

Plano para (a): vamos procurar permutações (linhas e/ou colunas) que transformem o sistema em um equivalente que satisfaça pelo menos UM dos critérios. Explicação de por que permutar colunas é permitido: permutar colunas equivale a renomear as incógnitas (trocar a ordem das variáveis); isso gera um sistema equivalente cujas soluções são as mesmas, apenas com ordem diferente das componentes. Podemos então aplicar métodos iterativos na nova ordenação e, no final, remapear para x_{1},x_{2},x_{3}.
Vou procurar uma permutação de colunas e uma de linhas que torne o critério de Sassenfeld satisfeito (frequentemente mais fácil de obter do que dominância estrita em todas as linhas). Fiz uma busca por permutações e encontrei uma que funciona: permutar as colunas na ordem (3,2,1) (isto é, y_{1}=x_{3},\,y_{2}=x_{2},\,y_{3}=x_{1}) e permutar as linhas na ordem (3,2,1) (isto é, colocar a equação 3 como primeira, a 2 como segunda e a 1 como terceira). A seguir mostro os detalhes.

Passo 5

Aplicando as permutações encontradas:
  • Nova ordem das incógnitas: \,y_{1}=x_{3},\;y_{2}=x_{2},\;y_{3}=x_{1}.
  • Nova ordem das equações: tomar as equações na sequência (origem) 3,2,1.
Peguei os coeficientes das linhas originais e reordenei as colunas conforme (3,2,1) e as linhas conforme (3,2,1). Assim obtemos o sistema equivalente A' y = b' com
A'=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 2 \end{pmatrix},\qquad b'=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Verificação rápida das entradas (peguei estes números da matriz original e do vetor b conforme as permutações indicadas):
  • Linha 1 de A' vem da equação 3 original (x_{1}+0x_{2}+3x_{3}=3) reescrita na ordem (x_{3},x_{2},x_{1}) como (3,0,1) e termo independente 3.
  • Linha 2 de A' vem da equação 2 original (0,-1,1=1) reescrita como (1,-1,0) e termo independente 1.
  • Linha 3 de A' vem da equação 1 original (2,1,3=9) reescrita como (3,1,2) e termo independente 9.
Esse A' e b' definem um sistema equivalente em termos das variáveis y.]

Passo 6

Verificação do critério de Sassenfeld para a matriz A'. Vou calcular \beta_1,\beta_2,\beta_3 passo a passo.
Para A':
  • \beta_1=\dfrac{|a'_{12}|+|a'_{13}|}{|a'_{11}|}=\dfrac{0+1}{3}=\dfrac{1}{3}.
  • \beta_2=\dfrac{|a'_{21}|\beta_1 + \sum_{j>2}|a'_{2j}|}{|a'_{22}|} =\dfrac{|1|\cdot\frac{1}{3}+|0|}{|{-1}|}=\dfrac{\tfrac{1}{3}}{1}=\tfrac{1}{3}.
  • \beta_3=\dfrac{|a'_{31}|\beta_1 + |a'_{32}|\beta_2}{|a'_{33}|} =\dfrac{3\cdot\frac{1}{3} + 1\cdot\frac{1}{3}}{2}=\dfrac{1+ \tfrac{1}{3}}{2}=\dfrac{\tfrac{4}{3}}{2}=\tfrac{2}{3}.
Temos \beta_1=\tfrac{1}{3},\;\beta_2=\tfrac{1}{3},\;\beta_3=\tfrac{2}{3}. Logo
\max_i\beta_i=\tfrac{2}{3}<1.
Portanto o critério de Sassenfeld é satisfeito para o sistema permutado A'y=b'. Isso garante a convergência do método de Gauss–Seidel para esse sistema (e é um bom indicativo de que os iterativos funcionarão bem). Assim a permutação escolhida resolve o item (a): encontramos um sistema equivalente que satisfaz Sassenfeld (apresentei os cálculos e a justificativa).

Passo 7

Cálculo exato da solução (para avaliar erros relativos depois). Vou resolver o sistema original por substituição (peguei as equações originais):
Da equação 2: -x_{2}+x_{3}=1 temos \,x_{3}=1+x_{2}.
Da equação 3: x_{1}+3x_{3}=3 temos \,x_{1}=3-3x_{3}.
Substituindo na equação 1:
2x_{1}+x_{2}+3x_{3}=9
substituir x_{1}=3-3x_{3}
2(3-3x_{3})+x_{2}+3x_{3}=9 \;\Rightarrow\; 6-6x_{3}+x_{2}+3x_{3}=9
x_{2}-3x_{3}=3.
Substituindo x_{3}=1+x_{2} em x_{2}-3x_{3}=3:
x_{2}-3(1+x_{2})=3 \Rightarrow x_{2}-3-3x_{2}=3 \Rightarrow -2x_{2}=6 \Rightarrow x_{2}=-3.
Então x_{3}=1+x_{2}=1-3=-2 e x_{1}=3-3x_{3}=3-3(-2)=9.
Solução exata:
x=\begin{pmatrix}9\\[4pt]-3\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Na ordem das variáveis y (que era y_{1}=x_{3},y_{2}=x_{2},y_{3}=x_{1}) a solução exata é
y_{\text{exata}}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-3\\[4pt]9\end{pmatrix}.]

Passo 8

Método de Jacobi aplicado ao sistema permutado A' y=b'.
Regra do Jacobi:
y_i^{(k+1)}=\frac{1}{a'_{ii}}\Big(b'_i-\sum_{j\ne i}a'_{ij}y_j^{(k)}\Big).
Escrevendo as equações de iteração explicitamente (a partir de A' e b'):
\begin{aligned} y_{1}^{(k+1)}&=\frac{1}{3}\big(3 - y_{3}^{(k)}\big),\\[4pt] y_{2}^{(k+1)}&=\frac{1}{-1}\big(1 - y_{1}^{(k)}\big)=y_{1}^{(k)}-1,\\[4pt] y_{3}^{(k+1)}&=\frac{1}{2}\big(9 - 3y_{1}^{(k)} - y_{2}^{(k)}\big). \end{aligned}
Partindo de y^{(0)}=(0,0,0)^{T}, calculo quatro iterações (faço os cálculos em frações para precisão).
Iteração 1:
\begin{aligned} y_1^{(1)}&=\tfrac{1}{3}(3-0)=1,\\\ y_2^{(1)}&=1-1=0-? \text{(atenção: usar }y_1^{(0)}=0\text{)}\Rightarrow y_2^{(1)}=0-1=-1,\\\ y_3^{(1)}&=\tfrac{1}{2}(9-0-0)=\tfrac{9}{2}. \end{aligned}çã
Portanto y^{(1)}=\big(1,\,-1,\,\tfrac{9}{2}\big)^{T}.
Iteração 2:
\begin{aligned} y_1^{(2)}&=\tfrac{1}{3}\big(3-\tfrac{9}{2}\big)=\tfrac{1}{3}\big(-\tfrac{3}{2}\big)=-\tfrac{1}{2},\\\ y_2^{(2)}&=y_1^{(1)}-1=1-1=0,\\\ y_3^{(2)}&=\tfrac{1}{2}\big(9-3\cdot1-(-1)\big)=\tfrac{1}{2}\cdot7=\tfrac{7}{2}. \end{aligned}
Logo y^{(2)}=\big(-\tfrac{1}{2},\,0,\,\tfrac{7}{2}\big)^{T}.
Iteração 3:
\begin{aligned} y_1^{(3)}&=\tfrac{1}{3}\big(3-\tfrac{7}{2}\big)=\tfrac{1}{3}\big(-\tfrac{1}{2}\big)=-\tfrac{1}{6},\\\ y_2^{(3)}&=y_1^{(2)}-1=-\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{3}{2},\\\ y_3^{(3)}&=\tfrac{1}{2}\big(9-3\cdot(-\tfrac{1}{2})-0\big)=\tfrac{1}{2}\big(9+\tfrac{3}{2}\big)=\tfrac{21}{4}. \end{aligned}
Então y^{(3)}=\big(-\tfrac{1}{6},\,-\tfrac{3}{2},\,\tfrac{21}{4}\big)^{T}.
Iteração 4:
\begin{aligned} y_1^{(4)}&=\tfrac{1}{3}\big(3-\tfrac{21}{4}\big)=\tfrac{1}{3}\big(-\tfrac{9}{4}\big)=-\tfrac{3}{4},\\\ y_2^{(4)}&=y_1^{(3)}-1=-\tfrac{1}{6}-1=-\tfrac{7}{6},\\\ y_3^{(4)}&=\tfrac{1}{2}\big(9-3\cdot(-\tfrac{1}{6})-(-\tfrac{3}{2})\big) =\tfrac{1}{2}\big(9+\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}\big)=\tfrac{11}{2}. \end{aligned}
Portanto, após quatro iterações,
y^{(4)}=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{4}\\[4pt]-\tfrac{7}{6}\\[4pt]\tfrac{11}{2}\end{pmatrix}.
Mapeando de volta para a ordem original das incógnitas ( x_{1}=y_{3},\,x_{2}=y_{2},\,x_{3}=y_{1}), obtemos a aproximação pelo Jacobi após 4 iterações:
x^{(4)}_{\text{Jacobi}}=\begin{pmatrix}\tfrac{11}{2}\\[4pt]-\tfrac{7}{6}\\[4pt]-\tfrac{3}{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5{,}5\\[4pt]-1{,}166666\ldots\\[4pt]-0{,}75\end{pmatrix}.
Cálculo do erro relativo (norma infinito): primeiro a diferença absoluta componente a componente entre a solução exata x=(9,-3,-2)^{T} e x^{(4)}_{\text{Jacobi}}:
|9-\tfrac{11}{2}|=\tfrac{7}{2}=3{,}5,\quad \big|-3-(-\tfrac{7}{6})\big|=\tfrac{11}{6}=1{,}833\ldots,\quad \big|-2-(-\tfrac{3}{4})\big|=\tfrac{5}{4}=1{,}25.
A norma infinito do erro absoluto é \|x-x^{(4)}\|_{\infty}=\tfrac{7}{2}. A norma infinito da solução exata é \|x\|_{\infty}=9. Portanto o erro relativo (norma infinito) é
\frac{\|x-x^{(4)}\|_{\infty}}{\|x\|_{\infty}}=\frac{\tfrac{7}{2}}{9}=\frac{7}{18}\approx0{,}3889.]

Passo 9

Método de Gauss–Seidel (no mesmo sistema permutado A'y=b'), aplicando a versão sequencial que usa imediatamente os valores mais recentes. Fórmulas (órdem y_{1},y_{2},y_{3}):
\begin{aligned} y_{1}^{(k+1)}&=\frac{1}{3}\big(3 - y_{3}^{(k)}\big),\\[4pt] y_{2}^{(k+1)}&=\frac{1}{-1}\big(1 - y_{1}^{(k+1)}\big)=y_{1}^{(k+1)}-1,\\[4pt] y_{3}^{(k+1)}&=\frac{1}{2}\big(9 - 3y_{1}^{(k+1)} - y_{2}^{(k+1)}\big). \end{aligned}
Começando com y^{(0)}=(0,0,0)^{T}, calculo quatro iterações (novamente em frações).
Iteração 1 (usando atualizações imediatas):
\begin{aligned} y_1^{(1)}&=\tfrac{1}{3}(3-0)=1,\\\ y_2^{(1)}&=1-1=0,\\\ y_3^{(1)}&=\tfrac{1}{2}(9-3\cdot1-0)=3. \end{aligned}
Logo y^{(1)}=(1,0,3)^{T}.
Iteração 2:
\begin{aligned} y_1^{(2)}&=\tfrac{1}{3}(3-3)=0,\\\ y_2^{(2)}&=0-1=-1,\\\ y_3^{(2)}&=\tfrac{1}{2}(9-3\cdot0-(-1))=\tfrac{10}{2}=5. \end{aligned}
Então y^{(2)}=(0,-1,5)^{T}.
Iteração 3:
\begin{aligned} y_1^{(3)}&=\tfrac{1}{3}(3-5)=-\tfrac{2}{3},\\\ y_2^{(3)}&=-\tfrac{2}{3}-1=-\tfrac{5}{3},\\\ y_3^{(3)}&=\tfrac{1}{2}\big(9-3(-\tfrac{2}{3})-(-\tfrac{5}{3})\big)=\tfrac{19}{3}. \end{aligned}
Logo y^{(3)}=\big(-\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{5}{3},\,\tfrac{19}{3}\big)^{T}.
Iteração 4:
\begin{aligned} y_1^{(4)}&=\tfrac{1}{3}\big(3-\tfrac{19}{3}\big)=-\tfrac{10}{9},\\\ y_2^{(4)}&=-\tfrac{10}{9}-1=-\tfrac{19}{9},\\\ y_3^{(4)}&=\tfrac{1}{2}\Big(9-3\cdot(-\tfrac{10}{9})-(-\tfrac{19}{9})\Big)=\tfrac{65}{9}. \end{aligned}
Portanto y^{(4)}=\big(-\tfrac{10}{9},\,-\tfrac{19}{9},\,\tfrac{65}{9}\big)^{T}.
Mapeando de volta para a ordem original x (lembre x_{1}=y_{3},x_{2}=y_{2},x_{3}=y_{1}):
x^{(4)}_{\text{GS}}=\begin{pmatrix}\tfrac{65}{9}\\[4pt]-\tfrac{19}{9}\\[4pt]-\tfrac{10}{9}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}7{,}2222\\[4pt]-2{,}1111\\[4pt]-1{,}1111\end{pmatrix}.
Cálculo do erro relativo (norma infinito) para Gauss–Seidel:
diferenças absolutas com a solução exata x=(9,-3,-2)^{T}:
\big|9-\tfrac{65}{9}\big|=\tfrac{16}{9}\approx1{,}7777,\quad \big|-3-(-\tfrac{19}{9})\big|=\tfrac{8}{9}\approx0{,}8889,\quad \big|-2-(-\tfrac{10}{9})\big|=\tfrac{8}{9}\approx0{,}8889.
A norma infinito do erro absoluto é \tfrac{16}{9}. Assim o erro relativo é
\frac{\tfrac{16}{9}}{9}=\frac{16}{81}\approx0{,}19753.]

Resposta

(a) Uma permutação que atende ao pedido é: permutar colunas na ordem (3,2,1) (ou seja y_{1}=x_{3},y_{2}=x_{2},y_{3}=x_{1}) e permutar as linhas na ordem (3,2,1). O sistema equivalente é
\begin{pmatrix}3 & 0 & 1\\[4pt]1 & -1 & 0\\[4pt]3 & 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt]y_{2}\\[4pt]y_{3}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]9\end{pmatrix},
e para ele os coeficientes de Sassenfeld são \beta_1=\tfrac{1}{3},\;\beta_2=\tfrac{1}{3},\;\beta_3=\tfrac{2}{3} (logo \max\beta_i=\tfrac{2}{3}<1), então o critério de Sassenfeld é satisfeito.
(b) Jacobi: após 4 iterações, aproximação
x^{(4)}_{\text{Jacobi}}=\begin{pmatrix}\tfrac{11}{2}\\[4pt]-\tfrac{7}{6}\\[4pt]-\tfrac{3}{4}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}5{,}5\\[4pt]-1{,}166666\\[4pt]-0{,}75\end{pmatrix},
erro relativo (norma infinito) =\dfrac{7}{18}\approx0{,}3889.
(c) Gauss–Seidel: após 4 iterações, aproximação
x^{(4)}_{\text{GS}}=\begin{pmatrix}\tfrac{65}{9}\\[4pt]-\tfrac{19}{9}\\[4pt]-\tfrac{10}{9}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}7{,}2222\\[4pt]-2{,}1111\\[4pt]-1{,}1111\end{pmatrix},
erro relativo (norma infinito) =\dfrac{16}{81}\approx0{,}19753.]

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