pontos) Resolva os problemas de valores iniciais:
. Encontre
de modo que a solução tenda a zero quando
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede: encontrar
tal que a solução associada tenda a zero quando
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Condições iniciais em
: (onde é desconhecido) e . - A restrição extra sobre o comportamento da solução quando
: queremos .
Passo 2
Resolver a equação característica associada para obter a forma geral das soluções. Para uma equação homogênea de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação obtemos a equação característica:
Agora resolvemos essa quadrática. O discriminante é
. As raízes são
Logo as raízes são
e
.
Passo 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Vou explicar por que isso é assim: cada raiz
da equação característica gera a solução
; quando as raízes são distintas, essas soluções são linearmente independentes, por isso a solução geral é
.
Passo 4
Calcular
e aplicar as condições iniciais para achar
e
. Derivando:
Aplicando
:
Assim obtemos o sistema linear para
:
Passo 5
Resolver o sistema para
e
em termos de
. Somando as duas equações:
Logo
Usando
:
Passo 6
Escrever a solução explícita em função de
e estudar o comportamento quando
. A solução é
Agora analisar cada termo quando
:
-
tende a quando (porque o expoente vai a ). -
tende a quando (porque ).
Portanto, para que
quando
, o coeficiente do termo que diverge, isto é o coeficiente de
, deve ser zero. Assim exigimos
Passo 7
Resolver a condição
. Isso dá imediatamente
Com
obtemos
e
. A solução correspondente é
que de fato satisfaz
,
e
.