(3,0 pontos) Resolva os problemas de valores iniciais:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0, y(0)=\alpha, y^{\prime}(0)=2. Encontre \alpha de modo que a solução tenda a zero quando t \rightarrow-\infty.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''-y'-2y=0,\qquad y(0)=\alpha,\qquad y'(0)=2,
e pede: encontrar \alpha tal que a solução associada tenda a zero quando t\to -\infty.
Informações relevantes que temos:
  • Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Condições iniciais em t=0: y(0)=\alpha (onde \alpha é desconhecido) e y'(0)=2.
  • A restrição extra sobre o comportamento da solução quando t\to -\infty: queremos \lim_{t\to -\infty} y(t)=0.

Passo 2

Resolver a equação característica associada para obter a forma geral das soluções. Para uma equação homogênea de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y(t)=e^{rt}. Substituindo na equação obtemos a equação característica:
r^{2}-r-2=0.
Agora resolvemos essa quadrática. O discriminante é \Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9. As raízes são
r=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}.
Logo as raízes são r_{1}=2 e r_{2}=-1.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais. Vou explicar por que isso é assim: cada raiz r da equação característica gera a solução e^{rt}; quando as raízes são distintas, essas soluções são linearmente independentes, por isso a solução geral é C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.

Passo 4

Calcular y'(t) e aplicar as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}. Derivando:
y'(t)=2C_{1}e^{2t}-C_{2}e^{-t}.
Aplicando t=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}=\alpha,
y'(0)=2C_{1}-C_{2}=2.
Assim obtemos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\alpha,\\[4pt] 2C_{1}-C_{2}=2. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para C_{1} e C_{2} em termos de \alpha. Somando as duas equações:
(C_{1}+C_{2})+(2C_{1}-C_{2})= \alpha+2 \quad\Rightarrow\quad 3C_{1}=\alpha+2.
Logo
C_{1}=\frac{\alpha+2}{3}.
Usando C_{2}=\alpha-C_{1}:
C_{2}=\alpha-\frac{\alpha+2}{3}=\frac{3\alpha-(\alpha+2)}{3}=\frac{2\alpha-2}{3}=\frac{2(\alpha-1)}{3}.

Passo 6

Escrever a solução explícita em função de \alpha e estudar o comportamento quando t\to -\infty. A solução é
y(t)=\frac{\alpha+2}{3}e^{2t}+\frac{2(\alpha-1)}{3}e^{-t}.
Agora analisar cada termo quando t\to -\infty:
  • e^{2t} tende a 0 quando t\to -\infty (porque o expoente 2t vai a -\infty).
  • e^{-t} tende a +\infty quando t\to -\infty (porque -t\to +\infty).
Portanto, para que y(t)\to 0 quando t\to -\infty, o coeficiente do termo que diverge, isto é o coeficiente de e^{-t}, deve ser zero. Assim exigimos
\frac{2(\alpha-1)}{3}=0.

Passo 7

Resolver a condição \dfrac{2(\alpha-1)}{3}=0. Isso dá imediatamente
\alpha-1=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=1.
Com \alpha=1 obtemos C_{2}=0 e C_{1}=(1+2)/3=1. A solução correspondente é
y(t)=e^{2t},
que de fato satisfaz y(0)=1, y'(0)=2 e \lim_{t\to -\infty}y(t)=0.

Resposta

\alpha=1

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