Seja um sistema LIT com resposta impulsiva dada por h(t)=u(t+1)-u(t-1).
(1,0) Qual a saída do sistema se a entrada for dada por x(t)=e^-2t u(t) ? Esboce o sinal.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o problema pede:
– Temos um sistema LIT com resposta impulsiva
y(t)=integral-infty^+infty x(tau),h(t-tau),dtau .
– A entrada é
.
Conteúdo envolvido: convolução no domínio do tempo e propriedades da função degrau .
O que precisamos usar:
  1. Definição de convolução
  1. Saber que só quando , ou seja .
  2. Que para por causa do .
A partir daqui, bora ver onde a integral “vale” e calcular.

Passo 2

Escrevendo a convolução com a janela de atividade de y(t)=integral-infty^+infty e^-2tauu(tau),l[u(t-tau+1)-u(t-tau-1)r],dtau :
tauin[t-1,t+1]
Sabendo que se e só se , podemos simplificar a região de integração para
Mas lembre que zera tudo para . Então o verdadeiro intervalo de integração será a interseção de com .

Passo 3

Agora vemos 3 casos de y(t)=0 (t< -1) :
  1. y(t)=integral0^,t+1 e^-2tau,dtau =l[-tfrac12 e^-2taur]0^,t+1 =1-e^-2(t+1)2
    – A janela fica totalmente à esquerda de 0 ( ), então não há sobreposição com .
    – Logo

  2. – Aqui temos e , então o intervalo de integração vai de até .
    – Calcule:

Passo 4

  1. y(t)=integralt-1^,t+1 e^-2tau,dtau =l[-tfrac12 e^-2taur]t-1^,t+1 =e^-2(t-1)-e^-2(t+1)2
    – Agora , então a janela fica completamente em .
    – A integral vai de até :

Resposta

O sinal de saída é, portanto,
y(t)= 0, & t< -1,[6pt] dfrac1 - e^-2(t+1)2, & -1 <= t<1,[8pt] dfrace^-2(t-1) - e^-2(t+1)2, & t>=1
Esse cara começa em zero, “liga” em , cresce até e depois decai exponencialmente.

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