Seja
o sólido interior ao cone
, abaixo do plano
. Descreva
por meio de inequações, usando:
coordenadas cartesianas; Em cada caso, escreva a expressão de
como integral iterada, por meio das coordenadas correspondentes.
coordenadas cartesianas; Em cada caso, escreva a expressão de
Passo 1
O enunciado dá um sólido
que é “interior ao cone”
e está “abaixo do plano”
. As tarefas são:
- Descrever
por meio de inequações nas coordenadas cartesianas (ou seja, escrever o conjunto usando desigualdades envolvendo ). - Em cada sistema de coordenadas (vou tratar dos três mais usados: cartesianas, cilíndricas e esféricas) escrever a expressão da integral
como integral iterada correspondente.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
- Superfície cônica:
(essa superfície é o cone reto que abre para cima, com vértice na origem). - Plano superior:
. - O sólido está “dentro” do cone e “abaixo” do plano, o que implica que os pontos satisfazem que
está entre a superfície do cone e , e que .
Passo 2
Intuição geométrica e projeção no plano
. Para qualquer ponto do sólido, o cone dá a relação
. Como estamos abaixo de
, intersectando o cone com o plano
obtemos a curva de interseção:
Portanto a projeção de
no plano
é o disco unitário centrado na origem. Outra maneira útil: para um dado
fixo entre
e
, a seção transversal em altura
é o disco de raio
(porque
dá
). Essas observações vão determinar as desigualdades e os limites de integração.
Passo 3
Descrição em coordenadas cartesianas. A desigualdade que representa “estar dentro do cone” sem raiz é, ao quadrar (lembrando que
),
Juntando com o fato de estar abaixo do plano
e acima do vértice (
), obtemos a descrição por inequações:
Agora escrever a integral iterada em coordenadas cartesianas. É prático integrar primeiro em
, depois em
e por fim em
. Para um
fixo com
, os
que aparecem satisfazem
, e para cada
o
varia entre
e
. Assim a integral iterada fica
Breve comentário didático: aqui transformámos a desigualdade circular
em limites de
em cartesianas, o que envolve a raiz
. Na prova, essa é a forma padrão se o enunciado pede explicitamente integrais em cartesianas.
Passo 4
Passando para coordenadas cilíndricas. Lembrete rápido (aula-mini): em coordenadas cilíndricas usamos
. O elemento de volume vale
. O fator
é o jacobiano da transformação; geometricamente ele aparece porque um retângulo pequeno em
tem área aproximadamente
.
Determinação dos limites: a equação do cone
torna-se
. O plano
continua
. Para pontos no sólido temos
e
. Mais conveniente para integrar é tomar
variando de
a
,
de
a
, e para cada
ter
de
até
. Portanto a integral em cilíndricas fica
Comentário útil para prova: cilíndricas costumam simplificar regiões com simetria em torno do eixo
; aqui a condição
é muito simples em cilíndricas, por isso essa costuma ser a coordenada mais confortável para calcular integrais sobre
.
Passo 5
Passando para coordenadas esféricas. Lembrete rápido (aula-mini): em esféricas usamos
, com
,
o ângulo polar (entre o raio e o eixo
), e
o azimute. O elemento de volume é
pois o jacobiano da transformação é
.
Determinar os limites: a superfície do cone
em esféricas é
Como o sólido está “abaixo” do plano
, em esféricas o plano é
ou
. O sólido é o conjunto de pontos com ângulo polar entre
(eixo
) e
(lado interior do cone), com
variando
a
, e com
desde
até a interseção com o plano, isto é
. Assim a integral em esféricas fica
Dica para prova: identificar o valor constante de
que descreve o cone (aqui
) é o passo-chave para limites esféricos. O limite superior de
vindo do plano pode ser escrito como
(válido para
no intervalo considerado).
Passo 6
Resumo e recomendações práticas para a prova: as três descrições dão exatamente o mesmo sólido; escolha o sistema que torne os limites mais simples para a integral que você precisa calcular. Aqui:
- Em cartesianas os limites têm raízes (menos confortáveis).
- Em cilíndricas ficam muito simples:
entre e , até , em a . - Em esféricas o cone é uma superfície de
constante ( ), o que também é bem elegante, especialmente para funções que se adaptam bem a esféricas.