Seja E o sólido interior ao cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, abaixo do plano z=1. Descreva E por meio de inequações, usando:
coordenadas cartesianas; Em cada caso, escreva a expressão de \iiint_{E} f(x, y, z) d V como integral iterada, por meio das coordenadas correspondentes.

Passo 1

O enunciado dá um sólido E que é “interior ao cone” z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e está “abaixo do plano” z=1. As tarefas são:
  • Descrever E por meio de inequações nas coordenadas cartesianas (ou seja, escrever o conjunto usando desigualdades envolvendo x,y,z).
  • Em cada sistema de coordenadas (vou tratar dos três mais usados: cartesianas, cilíndricas e esféricas) escrever a expressão da integral
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV
como integral iterada correspondente.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • Superfície cônica: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (essa superfície é o cone reto que abre para cima, com vértice na origem).
  • Plano superior: z=1.
  • O sólido está “dentro” do cone e “abaixo” do plano, o que implica que os pontos satisfazem que z está entre a superfície do cone e 1, e que z\ge 0.

Passo 2

Intuição geométrica e projeção no plano xy. Para qualquer ponto do sólido, o cone dá a relação z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como estamos abaixo de z=1, intersectando o cone com o plano z=1 obtemos a curva de interseção:
1=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=1.
Portanto a projeção de E no plano xy é o disco unitário centrado na origem. Outra maneira útil: para um dado z fixo entre 0 e 1, a seção transversal em altura z é o disco de raio z (porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z x^{2}+y^{2}\le z^{2}). Essas observações vão determinar as desigualdades e os limites de integração.

Passo 3

Descrição em coordenadas cartesianas. A desigualdade que representa “estar dentro do cone” sem raiz é, ao quadrar (lembrando que z\ge0),
x^{2}+y^{2}\le z^{2}.
Juntando com o fato de estar abaixo do plano z=1 e acima do vértice ( z\ge0), obtemos a descrição por inequações:
E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le z^{2},\\\ 0\le z\le 1\}.
Agora escrever a integral iterada em coordenadas cartesianas. É prático integrar primeiro em y, depois em x e por fim em z. Para um z fixo com 0\le z\le 1, os x que aparecem satisfazem -z\le x\le z, e para cada x o y varia entre -\sqrt{z^{2}-x^{2}} e +\sqrt{z^{2}-x^{2}}. Assim a integral iterada fica
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{z=0}^{1}\left(\int_{x=-z}^{z}\left(\int_{y=-\sqrt{z^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{z^{2}-x^{2}}} f(x,y,z)\,dy\right)dx\right)dz.
Breve comentário didático: aqui transformámos a desigualdade circular x^{2}+y^{2}\le z^{2} em limites de x,y em cartesianas, o que envolve a raiz \sqrt{z^{2}-x^{2}}. Na prova, essa é a forma padrão se o enunciado pede explicitamente integrais em cartesianas.

Passo 4

Passando para coordenadas cilíndricas. Lembrete rápido (aula-mini): em coordenadas cilíndricas usamos \,x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta,\\ z=z\,. O elemento de volume vale \,dV = r\,dr\,d\theta\,dz\,. O fator r é o jacobiano da transformação; geometricamente ele aparece porque um retângulo pequeno em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta.
Determinação dos limites: a equação do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} torna-se z=r. O plano z=1 continua z=1. Para pontos no sólido temos r\ge 0 e r\le z\le 1. Mais conveniente para integrar é tomar r variando de 0 a 1, \theta de 0 a 2\pi, e para cada (r,\theta) ter z de r até 1. Portanto a integral em cilíndricas fica
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r}^{1} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Comentário útil para prova: cilíndricas costumam simplificar regiões com simetria em torno do eixo z; aqui a condição z=r é muito simples em cilíndricas, por isso essa costuma ser a coordenada mais confortável para calcular integrais sobre E.

Passo 5

Passando para coordenadas esféricas. Lembrete rápido (aula-mini): em esféricas usamos \,x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\ z=\rho\cos\varphi\,, com \rho\ge0, \varphi o ângulo polar (entre o raio e o eixo z), e \theta o azimute. O elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,
pois o jacobiano da transformação é \rho^{2}\sin\varphi.
Determinar os limites: a superfície do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas é
\rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
Como o sólido está “abaixo” do plano z=1, em esféricas o plano é \rho\cos\varphi=1 ou \rho=\frac{1}{\cos\varphi}. O sólido é o conjunto de pontos com ângulo polar entre 0 (eixo +z) e \pi/4 (lado interior do cone), com \theta variando 0 a 2\pi, e com \rho desde 0 até a interseção com o plano, isto é \rho\in\left[0,\frac{1}{\cos\varphi}\right]. Assim a integral em esféricas fica
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{1/\cos\varphi} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\;\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Dica para prova: identificar o valor constante de \varphi que descreve o cone (aqui \varphi=\pi/4) é o passo-chave para limites esféricos. O limite superior de \rho vindo do plano pode ser escrito como 1/\cos\varphi (válido para \varphi no intervalo considerado).

Passo 6

Resumo e recomendações práticas para a prova: as três descrições dão exatamente o mesmo sólido; escolha o sistema que torne os limites mais simples para a integral que você precisa calcular. Aqui:
  • Em cartesianas os limites têm raízes (menos confortáveis).
  • Em cilíndricas ficam muito simples: z entre r e 1, r até 1, \theta em 0 a 2\pi.
  • Em esféricas o cone é uma superfície de \varphi constante ( \varphi=\pi/4), o que também é bem elegante, especialmente para funções que se adaptam bem a esféricas.

Resposta

E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le z^{2},\\\ 0\le z\le 1\} e
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{z=0}^{1}\int_{x=-z}^{z}\int_{y=-\sqrt{z^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{z^{2}-x^{2}}} f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.
E em coordenadas cilíndricas: \{(r,\theta,z)\mid 0\le r\le 1,\\\ 0\le\theta\le 2\pi,\\ r\le z\le 1\} e
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r}^{1} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\;r\,dz\,dr\,d\theta.
E em coordenadas esféricas: \{(\rho,\varphi,\theta)\mid 0\le\theta\le 2\pi,\\\ 0\le\varphi\le \pi/4,\\\ 0\le\rho\le 1/\cos\varphi\} e
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{1/\cos\varphi} f(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\;\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

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