Descreva cada sólido abaixo por meio de desigualdades, usando coordenadas esféricas. Faça uma figura em cada caso.
O sólido interior à esfera de raio a e acima do cone \varphi=\phi_{0}. Aqui, 0<\phi_{0}<\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede: descrever por desigualdades, usando coordenadas esféricas, o sólido que é o interior da esfera de raio a e está “acima” do cone \varphi=\phi_{0}, onde 0<\phi_{0}<\pi/2.
Informações dadas e o que devemos devolver:
  • raio da esfera: a (positivo);
  • superfície do cone: \varphi=\phi_{0} com 0<\phi_{0}<\pi/2;
  • devemos usar coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi);
  • devemos fornecer as desigualdades que definem o sólido (incluindo as superfícies) e fazer uma figura esquemática.

Passo 2

O que são coordenadas esféricas e quais os seus significados (mini-aula explicativa divertida).
Em coordenadas esféricas usamos três números \rho,\theta,\varphi para localizar um ponto:
  • \rho é a distância do ponto à origem (sempre \rho\ge 0);
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x no sentido anti-horário (normalmente 0\le \theta\le 2\pi);
  • \varphi é o ângulo polar entre o vetor posição e o eixo z, ou seja, o ângulo que a reta do ponto à origem faz com o eixo z positivo (vai de 0 no polo norte até \pi no polo sul).
As fórmulas de conversão são (vou escrever para você decorar):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui cada símbolo significa: \rho distância radial, \varphi inclinação desde o eixo z, \theta giro em torno do eixo z.

Passo 3

Como se descreve a esfera de raio a em coordenadas esféricas?
A esfera centrada na origem de raio a tem equação cartesiana x^2+y^2+z^2=a^2. Em esféricas, como \rho^2=x^2+y^2+z^2, isso vira simplesmente
\rho=a.
O interior da esfera corresponde, portanto, à desigualdade
0\le \rho\le a.
Explicando: \rho mede distância ao centro; estar “dentro” significa distância menor ou igual ao raio.

Passo 4

Como se descreve o cone \varphi=\phi_{0} (e o que significa “acima” do cone)?
A superfície \varphi=\phi_{0} é um cone com vértice na origem e eixo no eixo z; o ângulo entre a reta geratriz do cone e o eixo z é \phi_{0}. Usando a expressão z=\rho\cos\varphi e r=\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\varphi, na superfície do cone temos
\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cot\phi_{0}.
Pontos com \varphi<\phi_{0} estão mais próximos do eixo z do que a geratriz do cone (ou seja, “acima” do cone, na região em direção ao polo norte). Como \varphi mede a inclinação desde o eixo z, a região acima do cone é descrita por
0\le \varphi\le \phi_{0}.
(Não se esqueça: como \phi_{0}<\pi/2, essa região está no semiespaço z\ge 0.)

Passo 5

Juntando as condições da esfera e do cone — intervalo para \theta — e incluindo as superfícies:
  • \rho varia desde a origem até a esfera: 0\le \rho\le a.
  • \varphi está entre o eixo z e o cone: 0\le \varphi\le \phi_{0}.
  • \theta percorre toda a volta: 0\le \theta\le 2\pi.
Portanto, as desigualdades em coordenadas esféricas que descrevem o sólido são
0\le \rho\le a,\qquad 0\le \varphi\le \phi_{0},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 6

Interpretação cartesiana (útil para você visualizar na prova): a mesma região pode ser escrita em coordenadas cartesianas como
x^2+y^2+z^2\le a^2,\qquad z\ge \sqrt{x^2+y^2}\cot\phi_{0}.
Aqui eu usei r=\sqrt{x^2+y^2} e a relação do cone z=r\cot\phi_{0}. Essa forma deixa claro: dentro da esfera e acima (no sentido de z maior) do cone.

Passo 7

Figura esquemática (desenho ASCII + descrição para fixar a imagem).
Observação: isto é um esboço simples; imagine a esfera como uma bola e o cone abrindo para baixo até formar uma “calota” superior.
  eixo z
    ^
    |      /\   <- geraatriz do cone (\varphi=\phi_0)
    |     /  \
    |    /    \
   o+---+-----+----> eixo x
  /|   /|    /|
 / |  / |   / |
/  | /  |  /  |
/ |/ | / |
centro esfera (vista lateral)
Descrição rápida: a região é a parte da bola acima do cone — uma espécie de “cúpula” que tem como vértice o polo norte da esfera e cuja base é a interseção do cone com a esfera.

Resposta

0\le \rho\le a,\qquad 0\le \varphi\le \phi_{0},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

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