Descreva cada sólido abaixo por meio de desigualdades, usando coordenadas esféricas. Faça uma figura em cada caso.
O sólido interior à esfera de raio
e acima do cone
. Aqui,
.
O sólido interior à esfera de raio
Passo 1
O enunciado pede: descrever por desigualdades, usando coordenadas esféricas, o sólido que é o interior da esfera de raio
e está “acima” do cone
, onde
.
Informações dadas e o que devemos devolver:
Informações dadas e o que devemos devolver:
- raio da esfera:
(positivo); - superfície do cone:
com ; - devemos usar coordenadas esféricas
; - devemos fornecer as desigualdades que definem o sólido (incluindo as superfícies) e fazer uma figura esquemática.
Passo 2
O que são coordenadas esféricas e quais os seus significados (mini-aula explicativa divertida).
Em coordenadas esféricas usamos três números para localizar um ponto:
Em coordenadas esféricas usamos três números
-
é a distância do ponto à origem (sempre ); -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo no sentido anti-horário (normalmente ); -
é o ângulo polar entre o vetor posição e o eixo , ou seja, o ângulo que a reta do ponto à origem faz com o eixo positivo (vai de no polo norte até no polo sul).
As fórmulas de conversão são (vou escrever para você decorar):
Aqui cada símbolo significa:
distância radial,
inclinação desde o eixo
,
giro em torno do eixo
.
Passo 3
Como se descreve a esfera de raio
em coordenadas esféricas?
A esfera centrada na origem de raio tem equação cartesiana
. Em esféricas, como
, isso vira simplesmente
A esfera centrada na origem de raio
O interior da esfera corresponde, portanto, à desigualdade
Explicando:
mede distância ao centro; estar “dentro” significa distância menor ou igual ao raio.
Passo 4
Como se descreve o cone
(e o que significa “acima” do cone)?
A superfície é um cone com vértice na origem e eixo no eixo
; o ângulo entre a reta geratriz do cone e o eixo
é
. Usando a expressão
e
, na superfície do cone temos
A superfície
Pontos com
estão mais próximos do eixo
do que a geratriz do cone (ou seja, “acima” do cone, na região em direção ao polo norte). Como
mede a inclinação desde o eixo
, a região acima do cone é descrita por
(Não se esqueça: como
, essa região está no semiespaço
.)
Passo 5
Juntando as condições da esfera e do cone — intervalo para
— e incluindo as superfícies:
-
varia desde a origem até a esfera: . -
está entre o eixo e o cone: . -
percorre toda a volta: .
Portanto, as desigualdades em coordenadas esféricas que descrevem o sólido são
Passo 6
Interpretação cartesiana (útil para você visualizar na prova): a mesma região pode ser escrita em coordenadas cartesianas como
Aqui eu usei
e a relação do cone
. Essa forma deixa claro: dentro da esfera e acima (no sentido de
maior) do cone.
Passo 7
Figura esquemática (desenho ASCII + descrição para fixar a imagem).
Observação: isto é um esboço simples; imagine a esfera como uma bola e o cone abrindo para baixo até formar uma “calota” superior.
Observação: isto é um esboço simples; imagine a esfera como uma bola e o cone abrindo para baixo até formar uma “calota” superior.
eixo z
^
| /\ <- geraatriz do cone (\varphi=\phi_0)
| / \
| / \
o+---+-----+----> eixo x
/| /| /|
/ | / | / |
/ | / | / |
/ |/ | / |
centro esfera (vista lateral)
centro esfera (vista lateral)
Descrição rápida: a região é a parte da bola acima do cone — uma espécie de “cúpula” que tem como vértice o polo norte da esfera e cuja base é a interseção do cone com a esfera.