(2,0 pontos) Encontre a solução geral da EDO
y^prime=cos (t)1+raizy

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo y' = cos(t)1 + raizy . Para isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica pra resolver equações onde a gente pode separar os termos com y de um lado e os termos com t do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma que todas as partes que envolvem y fiquem de um lado e as que envolvem t fiquem do outro. A equação original é:
y' = cos(t)1 + raizy
Podemos reescrever y' como dydt :
dydt = cos(t)1 + raizy
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por (1 + raizy) e por dt para isolar dy e dt :
(1 + raizy) , dy = cos(t) , dt

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a y e do lado direito com respeito a t :
integral (1 + raizy) , dy = integral cos(t) , dt
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 4

Começando com a integral da esquerda:
integral (1 + raizy) , dy = integral 1 , dy + integral raizy , dy = y + 23 y^3/2 + C1
E a integral da direita:
integral cos(t) , dt = sin(t) + C2
Igualando as duas integrais:
y + 23 y^3/2 + C1 = sin(t) + C2
Podemos simplificar as constantes C1 e C2 em uma única constante C :
y + 23 y^3/2 = sin(t) + C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y + 23 y^3/2 = sin(t) + C

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