Lembre-se que cosh b t=\left(e^{\mu}+e^{-\mu}\right) / 2 e que \operatorname{senh} b t=\left(e^{\mu}-e^{-\mu}\right) / 2. Nos problemas de 7 a 10, encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Foi lembrado que \operatorname{cosh}(bt)=\dfrac{e^{bt}+e^{-bt}}{2} e \operatorname{sinh}(bt)=\dfrac{e^{bt}-e^{-bt}}{2}.
As constantes a e b são números reais (ou complexos com parte real conhecida).
Pedem encontrar a transformada de Laplace das funções (nos exercícios 7 a 10). Vou resolver as quatro transformadas que normalmente aparecem nesses exercícios:
\operatorname{cosh}(bt),
\operatorname{sinh}(bt),
e^{a t}\operatorname{cosh}(bt),
e^{a t}\operatorname{sinh}(bt).
Passo 2
Definição básica e transformada de uma exponencial (fórmula que vamos usar muito).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
Essa integral é uma integral exponencial simples e converge quando \operatorname{Re}(s-c)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}\text{(c)}. Avaliando,
com as condições de convergência \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(b) e \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(-b). Para b real isso exige \operatorname{Re}(s)>|b|.