Lembre-se que cosh b t=\left(e^{\mu}+e^{-\mu}\right) / 2 e que \operatorname{senh} b t=\left(e^{\mu}-e^{-\mu}\right) / 2. Nos problemas de 7 a 10, encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Foi lembrado que \operatorname{cosh}(bt)=\dfrac{e^{bt}+e^{-bt}}{2} e \operatorname{sinh}(bt)=\dfrac{e^{bt}-e^{-bt}}{2}.
  • As constantes a e b são números reais (ou complexos com parte real conhecida).
  • Pedem encontrar a transformada de Laplace das funções (nos exercícios 7 a 10). Vou resolver as quatro transformadas que normalmente aparecem nesses exercícios:
    1. \operatorname{cosh}(bt),
    2. \operatorname{sinh}(bt),
    3. e^{a t}\operatorname{cosh}(bt),
    4. e^{a t}\operatorname{sinh}(bt).

Passo 2

Definição básica e transformada de uma exponencial (fórmula que vamos usar muito).
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
quando a integral converge.
  • Para a exponencial e^{ct} (com c constante), calculemos
\mathcal{L}\{e^{ct}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{ct}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-c)t}\,dt.
Essa integral é uma integral exponencial simples e converge quando \operatorname{Re}(s-c)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}\text{(c)}. Avaliando,
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-c)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-c)t}}{-(s-c)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-c}.
Portanto,
\mathcal{L}\{e^{ct}\}(s)=\frac{1}{s-c},\qquad \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}\text{(c)}.

Passo 3

Transformada de \operatorname{cosh}(bt) usando linearidade e a expressão em exponenciais.
  • Usamos \operatorname{cosh}(bt)=\dfrac{e^{bt}+e^{-bt}}{2} e a linearidade da transformada:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{1}{2}\Big(\mathcal{L}\{e^{bt}\}(s)+\mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s)\Big).
  • Aplicando a fórmula do passo anterior:
\mathcal{L}\{e^{bt}\}(s)=\frac{1}{s-b},\qquad \mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s)=\frac{1}{s-(-b)}=\frac{1}{s+b},
com as condições de convergência \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(b) e \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(-b). Para b real isso exige \operatorname{Re}(s)>|b|.
  • Então
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b}\right).
  • Vamos simplificar a soma de frações. Colocando um denominador comum (s-b)(s+b)=s^{2}-b^{2},
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}+\frac{1}{s+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+b)+(s-b)}{s^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2s}{s^{2}-b^{2}}=\frac{s}{s^{2}-b^{2}}.
  • Conclusão:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>|b|.

Passo 4

Transformada de \operatorname{sinh}(bt) de maneira análoga.
  • Começamos de \operatorname{sinh}(bt)=\dfrac{e^{bt}-e^{-bt}}{2} e aplicamos linearidade:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\frac{1}{2}\Big(\mathcal{L}\{e^{bt}\}(s)-\mathcal{L}\{e^{-bt}\}(s)\Big)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s+b}\right).
  • Somando as frações com denominador comum s^{2}-b^{2}:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s+b}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+b)-(s-b)}{s^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2b}{s^{2}-b^{2}}=\frac{b}{s^{2}-b^{2}}.
  • A região de convergência é a mesma: \operatorname{Re}(s)>|b|. Portanto
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>|b|.

Passo 5

Transformadas de e^{a t}\operatorname{cosh}(bt) e e^{a t}\operatorname{sinh}(bt) usando a propriedade de deslocamento na variável s.
  • Propriedade de deslocamento (multiplicação por exponencial): se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a),
quando a substituição mantém a região de convergência (isto é, \operatorname{Re}(s-a) deve estar na região de convergência de F).
  • Aplicando ao caso f(t)=\operatorname{cosh}(bt) cuja transformada é F(s)=\dfrac{s}{s^{2}-b^{2}} com ROC \operatorname{Re}(s)>|b|, obtemos
\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\left.\frac{s}{s^{2}-b^{2}}\right|_{s\mapsto s-a}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}-b^{2}}.
A condição de convergência vira \operatorname{Re}(s-a)>|b|, ou seja \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)+|b|.
  • Para f(t)=\operatorname{sinh}(bt) com F(s)=\dfrac{b}{s^{2}-b^{2}}, aplica-se a mesma substituição:
\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}-b^{2}},
com \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)+|b|.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-b^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>|b|.
\displaystyle \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>|b|.
\displaystyle \mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh}(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}-b^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)+|b|.
\displaystyle \mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{sinh}(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}-b^{2}},\quad \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a)+|b|.

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