Seja
a solução correspondente à condição inicial
. Para quais valores de
tem-se
finito?
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de y₀ tais que a solução y(t,y₀) da EDO y′=−y(1+y²) com y(0)=y₀ tenha limite finito quando t→∞. O conteúdo é EDOs separáveis e análise de limite de solução explícita.
Passo 2
Separamos variáveis:
Passo 3
Reconhecemos que
e então integramos ambos os lados:
Passo 4
Isso dá
Podemos reescrever como
Passo 5
Logo
Passo 6
Isolando y²:
Passo 7
Agora analisamos o limite t→∞. Como e^{-2t}→0,
ou seja y(t)→0 para qualquer y₀ real.
Portanto o limite é sempre 0 (que é finito) para todo y₀∈ℝ.
Resposta
Para todo y₀∈ℝ, tem-se
, que é finito.