Seja y=y(t, y0) a solução correspondente à condição inicial y(0)=y0. Para quais valores de y0 tem-se lim t infty y(t, y0) finito?
y^prime=-y(1+y^2).

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de y₀ tais que a solução y(t,y₀) da EDO y′=−y(1+y²) com y(0)=y₀ tenha limite finito quando t→∞. O conteúdo é EDOs separáveis e análise de limite de solução explícita.

Passo 2

Separamos variáveis:
dyy(1+y^2)=-dt

Passo 3

Reconhecemos que
1y(1+y^2)=1y-y1+y^2
e então integramos ambos os lados:
integrall(1y-y1+y^2r)dy=-integral dt

Passo 4

Isso dá
ln|y| - 12ln(1+y^2)=-t+C
Podemos reescrever como
lny^21+y^2=-2t+C'

Passo 5

Logo
y^21+y^2=Ae^-2t, A=y0^21+y0^2

Passo 6

Isolando y²:
y^2(t)=y0^2e^-2t1+y0^2 -y0^2e^-2t

Passo 7

Agora analisamos o limite t→∞. Como e^{-2t}→0,
y^2(t)to0
ou seja y(t)→0 para qualquer y₀ real.
Portanto o limite é sempre 0 (que é finito) para todo y₀∈ℝ.

Resposta

Para todo y₀∈ℝ, tem-se limttoinftyy(t,y₀)=0, que é finito.

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