Seja A subconjunto de \mathbb{Q}. Resolva os seguintes itens:
(a) Defina quando A é limitado inferiormente;

Passo 1

O enunciado dá que A é um subconjunto de \mathbb{Q} e pergunta, no item (a), para definir quando A é limitado inferiormente.
Informações relevantes: A\subseteq\mathbb{Q}. A única pergunta deste item é formular a definição correta de “limitado inferiormente” aplicada a A.

Passo 2

Definição formal: vou escrever primeiro a fórmula e depois explicar o que cada parte significa.
A frase formal é: existe um elemento que fica abaixo (ou igual) a todos os elementos de A. Em símbolos, isso é
\exists b\in\mathbb{Q}\\ \text{tal que}\\ \forall a\in A,\; b\le a.
Explicação: \exists b\in\mathbb{Q} significa "existe um racional b"; \forall a\in A significa "para todo elemento a de A"; e b\le a é a desigualdade habitual que diz que b é menor ou igual a a. Esse b é chamado de limite inferior ou cota inferior de A.

Passo 3

Interpretação prática (como provar na prova): para mostrar que A é limitado inferiormente, você escolhe um candidato b\in\mathbb{Q} e prova a desigualdade \forall a\in A,\; b\le a. Tipicamente você:
  1. Propõe um b simples (por exemplo 0, -1, ou algum racional construído a partir do enunciado).
  2. Pega um a genérico de A e usa as propriedades que definem A para deduzir que b\le a.
    Se conseguir isso, está provado que A tem limite inferior.
Para provar que A não é limitado inferiormente, mostre que qualquer candidato b\in\mathbb{Q} falha: isto é, prove que
\forall b\in\mathbb{Q}\\ \exists a\in A\\ \text{tal que}\\ a<b.
Na prática escolhe-se para cada b um elemento a\in A dependente de b com a<b.

Passo 4

Exemplos concretos (para fixar a ideia):
  • Exemplo de conjunto limitado inferiormente: A=\{q\in\mathbb{Q}\mid q>0\}. Tome b=0. Então para todo a\in A temos a>0, logo 0\le a. Assim \exists b\in\mathbb{Q} com \forall a\in A,\; b\le a, logo A é limitado inferiormente.
  • Exemplo de conjunto não limitado inferiormente: A=\{q\in\mathbb{Q}\mid q<0\}. Seja b\in\mathbb{Q} arbitrário. Defina a=-(|b|+1)\in\mathbb{Q}. Então a<0 (logo a\in A) e a<b (porque a\le -(|b|+1)<b). Assim \forall b\in\mathbb{Q}\\ \exists a\in A com a<b, logo não existe cota inferior.

Passo 5

Observações úteis e armadilhas para a prova:
  • Conjunto vazio: por convenção lógica, o predicado \forall a\in\varnothing,\; b\le a é verdadeiro para qualquer b. Assim a escolha de exigir a cota em \mathbb{Q} faz com que o conjunto vazio seja, vacuamente, limitado inferiormente (mas alguns enunciados adicionam a hipótese “não-vazio” quando querem falar de ínfimo). Fique atento ao contexto do problema.
  • Diferença entre “ser limitado inferiormente” e "ter ínfimo em \mathbb{Q}": A pode ter cotas inferiores racionais (logo ser limitado inferiormente) mas não ter um menor de todas as cotas em \mathbb{Q}. Por exemplo, A=\{q\in\mathbb{Q}\mid q^2<2\} tem muitas cotas inferiores racionais (por exemplo -2), então é limitado inferiormente; porém o ínfimo em \mathbb{R} é -\sqrt{2}, que não é racional, então não existe ínfimo em \mathbb{Q}. Isso mostra a diferença entre “existir cota” e “existir ínfimo no mesmo conjunto de números”.

Passo 6

Dica final de escrita na prova: formule a definição exatamente como uma afirmação lógica (com \exists e \forall), e quando for provar, deixe claro qual é o candidato b e por que \forall a\in A vale b\le a. Se for refutar, escreva a negação lógica e forneça, para um b arbitrário, um a\in A que contradiz a desigualdade.

Resposta

A é limitado inferiormente se, e somente se, existe b\in\mathbb{Q} tal que \forall a\in A,\; b\le a.

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