Seja
subconjunto de
. Resolva os seguintes itens:
(a) Defina quando
é limitado inferiormente;
(a) Defina quando
Passo 1
O enunciado dá que
é um subconjunto de
e pergunta, no item (a), para definir quando
é limitado inferiormente.
Informações relevantes: . A única pergunta deste item é formular a definição correta de “limitado inferiormente” aplicada a
.
Informações relevantes:
Passo 2
Definição formal: vou escrever primeiro a fórmula e depois explicar o que cada parte significa.
A frase formal é: existe um elemento que fica abaixo (ou igual) a todos os elementos de . Em símbolos, isso é
A frase formal é: existe um elemento que fica abaixo (ou igual) a todos os elementos de
Explicação:
significa "existe um racional
";
significa "para todo elemento
de
"; e
é a desigualdade habitual que diz que
é menor ou igual a
. Esse
é chamado de limite inferior ou cota inferior de
.
Passo 3
Interpretação prática (como provar na prova): para mostrar que
é limitado inferiormente, você escolhe um candidato
e prova a desigualdade
. Tipicamente você:
- Propõe um
simples (por exemplo , , ou algum racional construído a partir do enunciado). - Pega um
genérico de e usa as propriedades que definem para deduzir que .
Se conseguir isso, está provado quetem limite inferior.
Para provar que
não é limitado inferiormente, mostre que qualquer candidato
falha: isto é, prove que
Na prática escolhe-se para cada
um elemento
dependente de
com
.
Passo 4
Exemplos concretos (para fixar a ideia):
- Exemplo de conjunto limitado inferiormente:
. Tome . Então para todo temos , logo . Assim com , logo é limitado inferiormente. - Exemplo de conjunto não limitado inferiormente:
. Seja arbitrário. Defina . Então (logo ) e (porque ). Assim com , logo não existe cota inferior.
Passo 5
Observações úteis e armadilhas para a prova:
- Conjunto vazio: por convenção lógica, o predicado
é verdadeiro para qualquer . Assim a escolha de exigir a cota em faz com que o conjunto vazio seja, vacuamente, limitado inferiormente (mas alguns enunciados adicionam a hipótese “não-vazio” quando querem falar de ínfimo). Fique atento ao contexto do problema. - Diferença entre “ser limitado inferiormente” e "ter ínfimo em
": pode ter cotas inferiores racionais (logo ser limitado inferiormente) mas não ter um menor de todas as cotas em . Por exemplo, tem muitas cotas inferiores racionais (por exemplo ), então é limitado inferiormente; porém o ínfimo em é , que não é racional, então não existe ínfimo em . Isso mostra a diferença entre “existir cota” e “existir ínfimo no mesmo conjunto de números”.
Passo 6
Dica final de escrita na prova: formule a definição exatamente como uma afirmação lógica (com
e
), e quando for provar, deixe claro qual é o candidato
e por que
vale
. Se for refutar, escreva a negação lógica e forneça, para um
arbitrário, um
que contradiz a desigualdade.
Resposta
A é limitado inferiormente se, e somente se, existe
tal que
.