Seja W o subespaço de M(2,2) definido por
W=\left\{\left(\begin{array}{cc} 2 a & a+b \\\ a & a-b \end{array}\right) ; a, b \in \mathbb{R}\right\} .
Verificar se as matrizes \left(\begin{array}{cc}0 & -2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) e \left(\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) pertencem a W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \left\{ \begin{pmatrix}2a & a+b \\[6pt] a & a-b\end{pmatrix} ;\; a,b\in\mathbb{R} \right\}
e pede para verificar se as matrizes
X = \begin{pmatrix}0 & -2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad Y = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[3pt] 3 & 1\end{pmatrix}
estão em W. Para isso, basta tentar encontrar a,b que façam as entradas baterem.]

Passo 2

Testando X: suponha
\begin{pmatrix}0 & -2 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a & a+b \\\ a & a-b\end{pmatrix}.
Das entradas:
  1. 2a = 0 implica a=0.
  2. a+b = -2 com a=0 b=-2.
  3. a = 0 é ok para a entrada (2,1).
  4. a - b = 0 - (-2) = 2, mas precisa ser 1.
    Logo não há (a,b) que satisfaça todas as igualdades. Portanto X\notin W.

Passo 3

Testando Y: suponha
\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a & a+b \\\ a & a-b\end{pmatrix}.
Das entradas:
  1. 2a = 0 implica a=0.
  2. a+b = 2 com a=0 b=2.
  3. Mas a entrada (2,1) exige a = 3, impossível se a=0.
    Assim também não existe (a,b) que funcione, então Y\notin W.

Resposta

Nenhuma das duas matrizes pertence a W.

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